Teoria Weyla

Teoria Weyla.

Jeśli ${\displaystyle x}$ jest liczbą rzeczywistą, to niech ${\displaystyle [x]}$ oznacza największą liczbę całkowitą mniejszą lub równą od ${\displaystyle x.}$ Wtedy liczbę ${\displaystyle [x]}$ nazywamy częścią całkowitą liczby ${\displaystyle x.}$ Część ułamkowa ${\displaystyle x}$ jest określona przez ${\displaystyle \{x\}=x-[x].}$ W szczególności, ${\displaystyle x\in [0,1)}$ dla każdego ${\displaystyle x\in \mathbb {R} .}$ Na przykład część całkowita i część ułamkowa z liczby ${\displaystyle 2{,}7}$ są równe odpowiednio ${\displaystyle 2}$ i ${\displaystyle 0{,}7,}$ podczas gdy część całkowita i część ułamkowa z liczby ${\displaystyle -3{,}4}$ są równe odpowiednio ${\displaystyle -4}$ i ${\displaystyle 0{,}6.}$

O ciągu liczb ${\displaystyle \xi _{1},\ \xi _{2},\ \ldots ,\ \xi _{n},\ldots }$ na przedziale ${\displaystyle [0,1)}$ mówi się, że są „equidistributed”, na każdym przedziale ${\displaystyle (a,b)\subset [0,1)}$ mamy:

${\displaystyle \lim _{N\to \infty }{\frac {\{1\leqslant n\leqslant N:\xi _{n}\in (a,b)\}}{N}}=b-a}$

gdzie A oznacza liczność zbioru skończonego A.

Jeśli ${\displaystyle \gamma }$ jest niewymierne, to sekwencja części ułamkowych ${\displaystyle \{\gamma \},\ \{2\gamma \},\ \{3\gamma \},\ldots }$ jest „equidistributed” na odcinku ${\displaystyle [0,1).}$

Jeśli ${\displaystyle f}$ jest ciągła i okresowa o okresie równym ${\displaystyle 1,}$ a ${\displaystyle \gamma }$ jest niewymiene, to

${\displaystyle {\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}f(n\gamma )\longrightarrow \int _{0}^{1}f(x)\,dx,N\to \infty .}$

Teza powyższego lematu obejmuje każdą funkcję f, która jest całkowalna w sensie Riemanna na odcinku ${\displaystyle [0,1]}$ i okresowa o okresie równym ${\displaystyle 1.}$

Ciąg

${\displaystyle 0,{\frac {1}{2}},0,{\frac {1}{3}},{\frac {2}{3}},0,{\frac {1}{4}},{\frac {2}{4}},{\frac {3}{4}},0,{\frac {1}{5}},{\frac {2}{5}},\ldots }$

wydaje się być „equidistributed”, gdyż przebiega na odcinku ${\displaystyle [0,1)}$ równomiernie.

Oczywiście powyższe rozumowanie nie jest dowodem.

Niech ciąg ${\displaystyle (r_{n})_{n=1}^{\infty }}$ będzie jakąkolwiek numeracją liczb wymiernych na odcinku ${\displaystyle [0,1).}$ Wtedy ciąg definiowany tak, że ${\displaystyle \xi _{n}=r_{n/2}}$ dla ${\displaystyle n}$ parzystego oraz ${\displaystyle 0}$ dla ${\displaystyle n}$ nieparzystego. Ciąg ten nie jest „equidistributed”, gdyż „połowa” sekwencji wynosi 0. Niemniej jednak, ta sekwencja jest gęsta.

• Elias M. Stein, Rami Shakarchi, Fourier Analysis: An Introduction.