Topologie komplementarne

Topologie komplementarne – dwie topologie określone na wspólnej przestrzeni, które są jednocześnie niezależne i transwersalne, tzn. ich część wspólna jest topologią koskończoną, natomiast ich suma jest podbazą topologii dyskretnej lub, innymi słowy, generuje topologię dyskretną. Badania nad topologiami komplementarnymi zapoczątkował A. K. Steiner^[1][2] w 1966 roku.

Niech ${\displaystyle X}$ będzie niepustym zbiorem. Rodzina

${\displaystyle \{A\subseteq X\colon \,A=\varnothing \vee |X\setminus A|<\aleph _{0}\}}$

jest topologią w zbiorze ${\displaystyle X}$ nazywaną topologią koskończoną.

Topologie ${\displaystyle \tau }$ i ${\displaystyle \sigma }$ w zbiorze ${\displaystyle X}$ nazywa się:

• niezależnymi, gdy topologia ${\displaystyle \tau \cap \sigma }$ jest topologią koskończoną.
• transwersalnymi, gdy suma ${\displaystyle \tau \cup \sigma }$ generuje topologię dyskretną, tzn. najmniejszą topologią zawierającą rodzinę ${\displaystyle \tau \cup \sigma }$ jest topologia dyskretna.
• komplementarnymi, gdy są równocześnie niezależne i transwersalne.

• Twierdzenie Steinera (1966): nie istnieje w zbiorze przeliczalnym (nieskończonym) para niezależnych topologii typu T₂.
• Jeśli ${\displaystyle (X,\tau )}$ jest przestrzenią Hausdorffa to istnieje topologia ${\displaystyle \sigma }$ w zbiorze ${\displaystyle X}$ taka, że topologie ${\displaystyle \tau ,\sigma }$ są transwersalne oraz ${\displaystyle (X,\sigma )}$ jest przestrzenią zwartą^[3].