Wikipedysta:Tim Ocean/Tensor metryczny

Tensor metryczny – dwukrotnie kowariantne pole tensorowe ${\displaystyle g}$ na rozmaitości różniczkowej ${\displaystyle M}$ takie, że tensor ${\displaystyle g_{p}:T_{p}M\times T_{p}M\to \mathbb {R} }$ jest iloczynem skalarnym tzn. dodatnio określoną, symetryczną formą dwuliniową na przestrzeni stycznej ${\displaystyle T_{p}M}$. W lokalnym układzie współrzędnych ${\displaystyle x^{i}}$ tensor metryczny można zapisać

${\displaystyle g=\sum _{i,j}g_{ij}dx^{i}\otimes dx^{j}.}$

Macierz ${\displaystyle (g_{ij})}$ jest macierzą symetryczną, charakterystyczną dla danego układu współrzędnych.

Tensor metryczny nazywa się także metryką lub elementem liniowym i oznacza ${\displaystyle ds^{2}}$. Często stosuje się uproszczoną notację

${\displaystyle ds^{2}=\sum _{ij}g_{ij}dx^{i}dx^{j}.}$

Rozmaitość różniczkowa wraz z tensorem metrycznym tworzy rozmaitość riemannowską.

Tensor metryczny jest jednym z podstawowych pojęć geometrii różniczkowej, znajduje zastosowanie np. w elektrodynamice, w ogólnej teorii względności i innych teoriach, korzystających z geometrii różniczkowej.

Tensor metryczny to pole tensorowe ${\displaystyle g}$ typu ${\displaystyle T^{2,0}(M)}$ dwukrotnie kowariantne na rozmaitości różniczkowej ${\displaystyle M}$ takie, że tensor ${\displaystyle g_{p}:=g(p):T_{p}M\times T_{p}M\to \mathbb {R} }$ jest iloczynem skalarnym tzn. dodatnio określoną, symetryczną formą dwuliniową na przestrzeni stycznej ${\displaystyle T_{p}M}$.

Rozmaitość różniczkowa wraz z tensorem metrycznym tworzy rozmaitość riemannowską. Jeżeli w definicji tensora metrycznego warunek dodatniej określoności zastąpi się warunkiem niezdegenerowania to otrzymuje się rozmaitość pseudoriemannowską.

Lokalnie tzn. w dziedzinie pewnej mapy ${\displaystyle (U,\varphi )}$ w otoczeniu punktu ${\displaystyle p\in U\subset M}$ można w bazie ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{i}}}}$ naturalnej dla tej mapy tensor metryczny przedstawić w następujący sposób

${\displaystyle g=g_{ij}dx^{i}\otimes dx^{j},}$

gdzie ${\displaystyle g_{ij}(p)=g_{p}\left({\frac {\partial }{\partial x_{i}}},{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\right)}$, ${\displaystyle dx^{i}}$ są rzutowaniami na ${\displaystyle i}$-tą współrzędną względem bazy naturalnej:

${\displaystyle dx^{i}(p)(v)=dx^{i}(p)\left(v_{j}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\right)=v_{i},}$

a ${\displaystyle \otimes }$ oznacza iloczyn tensorowy.

(1) Tensor metryczny definiuje się tak, że jest on zawsze symetryczny, tj.

${\displaystyle g_{ij}=g_{ji}.}$

(2) Ponieważ tensor o górnych wskaźnikach otrzymuje się dokonując obliczenia macierzy odwrotnej do macierzy ${\displaystyle (g_{ij}),}$ to implikuje to natychmiast, że tensor ${\displaystyle g^{ij}}$ jest symetryczny, tj.

${\displaystyle g^{ij}=g^{ji}.}$

Z tensora ${\displaystyle g_{ij}}$ można otrzymać tensory ${\displaystyle g_{\ j}^{i}}$ oraz ${\displaystyle g_{j}^{\ i}}$ odpowiednio przez podwyższenie pierwszego lub drugiego wskaźnika:

${\displaystyle g_{\ j}^{i}:=g^{ik}g_{kj},}$

${\displaystyle g_{j}^{\ i}:=g^{ki}g_{jk}.}$

Ponieważ tensory ${\displaystyle g_{ij}}$ oraz ${\displaystyle g^{ij}}$ są symetryczne, to ${\displaystyle g^{ik}g_{kj}=g^{ki}g_{jk}}$ i z powyższych dwóch wzorów otrzymamy:

${\displaystyle g_{\ j}^{i}=g_{j}^{\ i},}$

co oznacza, że istnieje symetria związaną z zamianą wskaźników góra-dół na dół-góra tensora metrycznego.

Jeżeli układ współrzędnych jest ortogonalny, to tensor metryczny dla tego układu jest diagonalny. Zdefiniować wtedy można współczynniki Lamego:

${\displaystyle h_{i}^{2}=g_{ii}}$ (nie ma sumowania).

Element liniowy 3-wymiarowej przestrzeni Euklidesa nie zmienia się przy obrotach, translacjach, odbiciach układu współrzędnych, tj. odległości punktów ${\displaystyle P_{1}}$ i ${\displaystyle P_{2}}$ obliczone w danym układzie i po dokonaniu transformacji

${\displaystyle ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2},}$

oraz

${\displaystyle ds^{'2}=dx^{'2}+dy^{'2}+dz^{'2}.}$

będą identyczne. Z tego względu ${\displaystyle ds^{2}}$ stanowi niezmiennik geometrii. Obliczając z definicji tensor metryczny otrzymujemy:

${\displaystyle g_{ij}=g^{ji}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}.}$

Można pokazać, że dowolna transformacja z wyżej wymienionych, np. obrót układu współrzędnych, nie zmienia tensora metrycznego.

Element liniowy n-wymiarowej przestrzeni Euklidesa nie zmienia się przy obrotach i translacjach układu współrzędnych, tj.

${\displaystyle ds^{2}=(dx^{1})^{2}+\ldots +(dx^{n})^{2}.}$

Stąd tensor metryczny ma postać diagonalną:

${\displaystyle g_{ij}=\delta _{ij}=g^{ij},}$

gdzie:

${\displaystyle \delta _{ij}}$ – delta Kroneckera.

Z postaci tego tensora wynika też, że w n-wymiarowym układzie kartezjańskim współrzędne kontra- i kowariantne są takie same.

W czterowymiarowej czasoprzestrzeni (opisywanej przez szczególną teorię względności) interwał czasoprzestrzenny jest niezmiennikiem transformacji Lorentza. Niezmienniczość ta jest konsekwencją postulatu Einsteina o identyczności prędkości światła we wszystkich układach nieinercjalnych i stanowi punkt wyjścia teorii względności: mierząc odległości czasowe i przestrzenne impulsu światła, rozchodzącego się między danymi dwoma obiektami w danym układzie i układzie poruszającym się otrzymamy identyczne wartości, tj. jeśli w dwóch poruszających się względem siebie układach obliczy się interwały

${\displaystyle ds^{2}=c^{2}dt^{2}-dx^{2}-dy^{2}-dz^{2},}$

${\displaystyle ds^{'2}=c^{2}dt^{'2}-dx^{'2}-dy^{'2}-dz^{'2},}$

to wyniki te będą identyczne, tj.

${\displaystyle ds^{2}=ds^{'2}.}$

mimo że wielkości ${\displaystyle dt,dx,dy,dz}$ oraz ${\displaystyle dt',dx',dy',dz'}$ w ogólności będą się różnić. Fakt, iż powyższa wielkość jest niezmiennikiem implikuje, że geometria rzeczywistego świata fizycznego jest geometrią nieeuklidesową: czas i przestrzeń wiążą się ze sobą nierozerwalnie w czasoprzestrzeń, wielkość ${\displaystyle ds=ds'}$ stanowi element liniowy geometrii czasoprzestrzeni, niezmienniczy względem transformacji Lorentza.

Wektor położenia punktu w czasoprzestrzeni – to 4-wektor, mający współrzędną czasową i trzy współrzędne przestrzenne. W mechanice relatywistycznej przyjęło się oznaczać 4-wektory i tensory za pomocą indeksów greckich, np. ${\displaystyle \mu ,\nu .}$

Stosując tę konwencję przyjmuje się następujące indeksowanie współrzędnych: ${\displaystyle x^{0}=ct,x^{1}=x,x^{2}=y,x^{3}=z.}$ Wtedy niezmiennik przyjmie postać:

${\displaystyle ds^{2}=(dx^{0})^{2}-(dx^{1})^{2}-(dx^{2})^{2}-(dx^{3})^{2}.}$

Z postaci niezmiennika ${\displaystyle ds^{2}}$ natychmiast wynika postać tensora metrycznego:

${\displaystyle g_{\mu \nu }=g^{\mu \nu }={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}}}$

Tensor ten implikuje, że 4-wymiarowa czasoprzestrzeń (przestrzeń Minkowskiego) jest przestrzenią płaską (niezakrzywioną). Nie jest to jednak przestrzeń euklidesową, ze względu na przeciwne znaki przy trzech współrzędnych (przestrzennych) w relacji do współrzędnej czasowej. Przestrzeń taką nazywa przestrzenią pseudoeuklidesową.

W ogólnej teorii względności rozważa się inne tensory metryczne opisujące zakrzywienie przestrzeni, np. dla metryki Schwarzschilda we współrzędnych ${\displaystyle (ct,r,\theta ,\phi )}$ tensor ten ma postać:

${\displaystyle g_{\mu \nu }={\begin{pmatrix}1-{\frac {r_{s}}{r}}&0&0&0\\0&-{\frac {1}{1-{\frac {r_{s}}{r}}}}&0&0\\0&0&-r^{2}&0\\0&0&0&-r^{2}\sin ^{2}\theta \end{pmatrix}}}$

Współrzędne sferyczne ${\displaystyle (r,\phi ,\theta )}$ są związane ze współrzędnymi kartezjańskimi za pomocą związków:

${\displaystyle {\begin{cases}x=r\cos \phi \sin \theta ,\\y=r\sin \phi \sin \theta ,\\z=r\cos \theta .\end{cases}}}$

Aby obliczyć tensor metryczny kowariantny w układzie współrzędnych sferycznych można

1) albo obliczyć najpierw bazę wektorów stycznych ${\displaystyle e_{r},e_{\theta },e_{\phi }}$ do krzywych współrzędnych, a następnie obliczyć ich iloczyny skalarne

2) albo wykorzystać bezpośrednio wzór ${\displaystyle g_{jk}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial x^{i}}{\partial q^{j}}}{\frac {\partial x^{i}}{\partial q^{k}}},}$ przyjmując

${\displaystyle x_{1}=x,\,\,x_{2}=y,\,\,x_{3}=z}$

oraz

${\displaystyle q_{1}=r,\,\,q_{2}=\phi ,\,\,q_{3}=\theta }$

Z obliczeń otrzyma się:

${\displaystyle g_{ij}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&r^{2}&0\\0&0&r^{2}\sin ^{2}\theta \end{pmatrix}}}$

Tensor metryczny kontrawariantny otrzyma się obliczając macierz odwrotną do macierzy ${\displaystyle g_{ij}}$ (co jest trywialne, gdyż ${\displaystyle g_{ij}}$ jest macierzą diagonalną – wystarczy odwrócić wyrazy na diagonali):

${\displaystyle g^{ij}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&{\frac {1}{r^{2}}}&0\\0&0&{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}\end{pmatrix}}}$

Element liniowy w tych współrzędnych ma postać

${\displaystyle ds^{2}=dr^{2}+r^{2}d\phi ^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )d\theta ^{2}}$

Zobacz publikację Definicja tensora metrycznego w Wikibooks

Zobacz publikację Tensor metryczny w STW w Wikibooks

Zobacz publikację Interwał czasoprzestrzenny w OTW w Wikibooks

• sygnatura metryki
• symbole Christoffela
• teoria Kaluzy-Kleina

• James B. Hartle: Grawitacja. Wprowadzenie do ogólnej teorii względności Einsteina. Warszawa: Wydawnictwa Uniwersytetu Warszawskiego, 2010. ISBN 978-83-2350476-4.
• P.K. Raszewski: Geometria Riemanna i analiza tensorowa. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1958.
• John Lighton Synge: Rachunek tensorowy. Warszawa: PWN, 1964.
• Grzegorz Białkowski, Mechanika klasyczna, Warszawa: PWN, 1975, s. 14–26.