Интеграл Ри́мана — Сти́лтьеса[1] — обобщение определённого интеграла, предложенное в 1894 году Т. И. Стилтьесом. Вместо предела обычных интегральных сумм
![{\displaystyle \sum \limits _{i=1}^{n}{f(\xi _{i})(x_{i}-x_{i-1})}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a92ea25c72d7ca5cdc6170e2c104f8a2675f874)
рассматривается предел сумм вида
![{\displaystyle \sum \limits _{i=1}^{n}{f(\xi _{i})(j(x_{i})-j(x_{i-1}))},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6fabbf5610b7a545c70b10b29eefff1e3326bf0f)
где интегрирующая функция
есть функция с ограниченным изменением (ограниченной вариацией)[2].
Если
непрерывно дифференцируема, то интеграл Стилтьеса выражается через интеграл Римана:
(если последний существует).
Применения
Интеграл Римана — Стилтьеса имеет многочисленные применения в анализе. Например, всякий линейный непрерывный функционал в пространстве непрерывных на отрезке числовой оси функций может быть записан в форме интеграла Римана — Стилтьеса[3], всякая абсолютно монотонная при
функция может быть представлена в виде суммы константы и интеграла Римана — Стилтьеса[4], всякая аналитическая функция в круге
с неотрицательной вещественной частью может быть записана в виде суммы комплексного числа и интеграла Римана — Стилтьеса[5].
Примечания
Литература
![Перейти к шаблону «External links»](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c9/Wikipedia_interwiki_section_gear_icon.svg/14px-Wikipedia_interwiki_section_gear_icon.svg.png) Ссылки на внешние ресурсы |
---|
| |
---|
Словари и энциклопедии | |
---|
В библиографических каталогах | |
---|