В общей алгебре кольцо Куммера
— это подкольцо кольца комплексных чисел, каждый элемент которого имеет вид
![{\displaystyle n_{0}+n_{1}\zeta +n_{2}\zeta ^{2}+...+n_{m-1}\zeta ^{m-1}\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/432f08945801274baa4295f3e1b4560d0213bdfb)
где ζ — mth корни из единицы, то есть
![{\displaystyle \zeta =e^{2\pi i/m}\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f20d91054a0eed346d899d22d725a923ec05313)
и все nk целые.
Кольцо Куммера является расширением
кольца целых, отсюда и обозначение
. Поскольку минимальным многочленом для ζ является m-й круговой многочлен, кольцо
является расширением степени
(здесь φ обозначает функцию Эйлера).
Попытка представить кольцо Куммера на диаграмме Арганда может дать нечто подобное гигантской карте эпохи возрождения с розами ветров и локсодромами.
Множество единиц кольца Куммера содержит
.
По теореме Дирихле о единицах существуют единицы бесконечного порядка,
За исключением случаев m=1 и m=2 (в этих случаях мы имеем обычное кольцо целых), а также случая m=4 (гауссовы целые числа) и случаев m=3, m=6 (целые числа Эйзенштейна).
Кольца Куммера названы в честь Эрнста Куммера, который изучал единственность разложения их элементов.
См. также
Ссылки
- Allan Clark Elements of Abstract Algebra (1984 Courier Dover) p. 149
![Перейти к шаблону «Алгебраические числа»](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c9/Wikipedia_interwiki_section_gear_icon.svg/14px-Wikipedia_interwiki_section_gear_icon.svg.png) |
---|
Разновидности | |
---|
Конкретные | |
---|