Обра́тный элеме́нт — термин в общей алгебре, обобщающий понятия обратного числа (для умножения) и противоположного числа (для сложения).
Определения
Пусть
— множество
на котором определена бинарная операция, обозначаемая точкой (
), с нейтральным элементом
. Пусть
— пара произвольных элементов множества
. Если справедливо равенство
то
называется правым обратным (или обра́тным спра́ва) к
.
Аналогичным образом, если выполнено равенство
то
называется левым обратным (обра́тным сле́ва) к
Элемент
, являющийся обратным к
и справа, и слева, то есть такой, что
![{\displaystyle x\cdot y=y\cdot x=e,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7bc79272f3bf4f213ceffd2295fa5fff453f3d8)
называется просто обратным к
и обозначается
. Элемент, для которого существует обратный элемент, называется обратимым.
Замечания
- Приведённое выше определение дано в мультипликативной нотации. Если используется аддитивная нотация
, то обратный элемент называется противополо́жным и обозначается
.
- Вообще говоря, один и тот же элемент
может иметь несколько обратных слева элементов и несколько обратных справа элементов, и левые не обязаны совпадать с правыми.
Свойства
Пусть операция
ассоциативна. Тогда если для элемента
определены обратный слева и обратный справа элементы, то они равны и единственны.
Следствие: в моноиде у каждого элемента имеется не более одного обратного. Все обратимые элементы моноида образуют группу; эта группа не пуста, так как содержит по крайней мере нейтральный элемент.
Примеры
См. также