В метрике городских кварталов длины красной, жёлтой и синей линий равны между собой (12). В геометрии Евклида зелёная линия имеет длину 6√2 ≈ 8,49 и представляет собой единственный кратчайший путь.
Расстояние городских кварталов — метрика, введённая Германом Минковским. Согласно этой метрике, расстояние между двумя точками равно сумме модулей разностей их координат.
У этой метрики много имён. Расстояние городских кварталов также известно как манхэттенское расстояние, метрика прямоугольного города, метрика L1 или норма (см. пространство Lp), метрика городского квартала, метрика такси, метрика Манхэттена, прямоугольная метрика, метрика прямого угла; на её называют метрикой гриды и 4-метрикой[1][2][3].
Например, на плоскости расстояние городских кварталов между и равно
Свойства
Манхэттенское расстояние зависит от вращения системы координат, но не зависит от отражения относительно оси координат или переноса. В геометрии, основанной на манхэттенском расстоянии, выполняются все аксиомы Гильберта, кроме аксиомы о конгруэнтных треугольниках.
Для трёхмерного пространства, шар в этой метрике имеет форму октаэдра, вершины которого лежат на осях координат.
Примеры
a
b
c
d
e
f
g
h
8
8
7
7
6
6
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1
a
b
c
d
e
f
g
h
Манхэттенское расстояние между двумя полями шахматной доски равно минимальному количеству ходов, которое необходимо ферзю, чтобы перейти из одного поля в другое.
Расстояния в шахматах
Расстояние между полями шахматной доски для ферзя (или ладьи, если расстояние считать в полях) равно манхэттенскому расстоянию; король пользуется расстоянием Чебышёва, а слон — манхэттенским расстоянием на доске, повёрнутой на 45°.
Пятнашки
Сумма манхэттенских расстояний между костяшками и позициями, в которых они находятся в решённой головоломке «Пятнашки», используется в качестве эвристической функции для поиска оптимального решения[5].
Клеточные автоматы
Множество клеток на двумерном квадратном паркете, манхэттенское расстояние до которых от данной клетки не превышает r, называется окрестностью фон Неймана диапазона (радиуса) r[6].
↑Елена Деза, Мишель Мари Деза.Глава 19. Расстояния на действительной и цифровой плоскостях. 19.1. Метрики на действительной плоскости // Энциклопедический словарь расстояний = Dictionary of Distances. — М.: Наука, 2008. — С. 276. — ISBN 978-5-02-036043-3.