Символ Кро́некера (или дельта Кронекера или кронекериа́н) — индикатор равенства элементов, формально: функция двух целых переменных, которая равна 1, если они равны, и 0 в противном случае[1]:
![{\displaystyle \delta _{ij}={\begin{cases}1,&i=j,\\0,&i\neq j.\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ba61a29e8c3296edd760cc44ff88dc4157b38cc)
Например,
, но
.
Использование
В линейной алгебре символ Кронекера может использоваться для записи условия ортонормированности базиса
, а также — в общем случае — для определения дуальных базисов
, где круглыми скобками обозначено скалярное произведение, а также для краткой записи единичной матрицы размера n:
(элементы единичной матрицы записываются как
).
В тензорном исчислении символ Кронекера обычно трактуется как единичный тензор[2]. В частности, могут использоваться различные написания
для подчеркивания его принадлежности к определённому типу тензоров — соответственно дважды ковариантным, один раз ковариантным и один контравариантным и дважды контравариантным. При этом обычная практика обозначать той же буквой тензор после поднятия или опускания индекса не распространяется на дельту Кронекера. Иначе говоря, в общем случае
— не представляют один и тот же тензор (за исключением представления в ортонормированных базисах, что, собственно говоря, является признаком, выделяющим ортонормированные базисы из всех)[3].
Также может использоваться в соответствии со своим определением для записи разнообразных результатов или условий и в других контекстах.
История
Символ был введён Кронекером в 1866 году[1].
Примечания
См. также