В математике степень простого числа — это простое число, возведённое в целую положительную степень.
Примеры
Числа 5 = 51, 9 = 32 и 16 = 24 являются степенями простых чисел, в то время как 6 = 2 × 3, 15 = 3 × 5 и 36 = 62 = 22 × 32 не являются.
Двадцать наименьших степеней простых чисел[1]:
- 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 13, 16, 17, 19, 23, 25, 27, 29, 31, 32, 37, 41, …
Свойства
Алгебраические свойства
- Каждая степень простого числа делится только на одно простое число.
- Плотность распределения степеней простых чисел асимптотически эквивалентна
— плотности простых чисел с точностью до
.
- Любая степень простого числа (за исключением степени 2) имеет первообразный корень. Так, мультипликативная группа целых чисел по модулю pn (или, что эквивалентно, группа единиц кольца Z/pnZ) является циклической.
- Число элементов конечного поля всегда является степенью простого числа и обратно, любая степень простого является числом элементов некоторого конечного поля (единственного с точностью до изоморфизма).
Комбинаторные свойства
Свойство степеней простого числа, часто используемое в аналитической теории чисел, — что множество степеней простых чисел, не являющихся простыми, является маленьким[англ.] в том смысле, что бесконечная сумма обратных им величин сходится, хотя множество простых чисел является большим множеством.
Свойства делимости
Функция Эйлера (φ) и сигма функции (σ0) и (σ1) от степени простого числа можно вычислить по формулам:
![{\displaystyle \phi (p^{n})=p^{n-1}\phi (p)=p^{n-1}(p-1)=p^{n}-p^{n-1}=p^{n}\left(1-{\frac {1}{p}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65b20d6414cd23b3f419aaddcc42a2f28a46c6d7)
![{\displaystyle \sigma _{0}(p^{n})=\sum _{j=0}^{n}p^{0*j}=\sum _{j=0}^{n}1=n+1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e03270962181f573d6bdd1e5d235bf80f029ba5)
![{\displaystyle \sigma _{1}(p^{n})=\sum _{j=0}^{n}p^{1*j}=\sum _{j=0}^{n}p^{j}={\frac {p^{n+1}-1}{p-1}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9dac9ebc0590d02c0c87b3b2aa3803b5d1d1dc01)
Все степени простых чисел являются недостаточными числами. Степень простого pn является n-почти простыми[англ.]. Неизвестно, могут ли степени простых чисел pn быть дружественными числами. Если такие числа существуют, то pn должно быть больше 101500 и n должен быть больше 1400.
Необходимое условие
Пусть число
является степенью простого числа
. Тогда
делится на
.
По малой теореме Ферма
не делит
где
См. также
Примечания
- ↑ Последовательность A000961 в OEIS: степени простых чисел = Powers of primes
Литература
- Jones, Gareth A. and Jones, J. Mary. Springer-Verlag. Elementary Number Theory. — London: Limited, 1998.