Серб по национальности. Свою карьеру Шароши начал в клубе «Мудьетем», а в 1929 году его заметил «Ференцварош» и пригласил к себе. В «Ференцвароше» Шароши играл до конца карьеры, до 1948 года. За 18 лет Шароши выиграл с «Ференцварошем» 5 национальных чемпионатов, 5 венгерских кубков, а также Кубок Митропы 1937 года. Шароши 3 раза становился лучшим бомбардиром национального чемпионата. Всего он сыграл 383 матча и забил в них 351 гол. «Ференцварош» 4 раза играл в финале Кубка Митропы, а Шароши дважды становился лучшим бомбардиром турнира; с 50 мячами в 42 играх он является лучшим бомбардиром в истории Кубка Митропы.
Цвета национальной сборной Дьёрдь Шароши защищал с 1931 по 1943 год, сыграв в 62 матча и забив в них 42 мяча. Он принимал участие в чемпионатах мира 1934 и 1938. В 1934 он провёл лишь одну игру, в четвертьфинале с Австрией, забив в той игре мяч, который не спас венгров от поражения. В 1938 году он провёл 4 игры, забив в них 5 мячей, в том числе и в финальном матче с Италией. Шароши забил минимум по голу во всех матчах чемпионата мира, в которых принимал участие. Шароши был лучшим бомбардиром Международного кубка Центральной Европы, проводившегося с 1933 по 1935, и лучшим бомбардиром недоигранного соревнования 1936—1938 годов. 19 сентября 1937 года в матче с Чехословакией Шароши забил 7 мячей (Венгрия выиграла 8:3).
После окончания карьеры футболиста, с приходом к власти в Венгрии коммунистов, Шароши уезжает в Италию и становится тренером. Первой его командой стал «Бари», которую он тренировал с 1948 по 1950, в 1951 году он принимает «Ювентус», который привёл в 1952 к чемпионству. Затем тренировал «Дженоа», «Рому», «Болонью» и «Брешиа». Также он тренировал национальную сборную Ирана.