Родился 29 ноября 2000 года в Ростове-на-Дону, в России. C девяти лет жил с матерью в Австрии. Также сегодня у него есть вид на жительство в соседней с Австрией Словакии, — где он живёт в Братиславе и откуда ездит тренироваться в Австрию.
В одиночном разряде завоевал в общей сложности три титула серии «челленджер» (в 2022—2023 годах) и 4 титула серии «фьючерс» по состоянию на октябрь 2023 года, большинство из которых: два — в 2021 году[4].
В парном разряде он выиграл в общей сложности два титула «фьючерса» по состоянию на октябрь 2023 года, и все из них в 2019 году[5]. Его карьерный максимум в парном разряде — 406 место последовал в феврале 2023 года.
В октябре дошёл до четвертьфинала турнира ATP 500 в швейцарском Базеле, где в первом раунде победил швейцарца Стэна Вавринку[13], затем переиграл игрока из топ-10 американца Тейлора Фрица[14], но в четвертьфинале проиграл канадцу Феликсу Оже-Альяссиму[15] — который в итоге стал чемпионом этого турнира в Базеле.
30 октября 2023 года достиг 63-го места рейтинга ATP. В ноябре вышел в первый финал в ATP-туре — на турнире в Меце (Франция).
В конце января объявил, что с февраля будет выступать за Казахстан[16].
27 августа 2024 года Александр Шевченко уже находясь в сборной Казахстана принял участие в своем первом US Open и одержал победу над немецким теннисистом, которого спортивные эксперты считали фаворитом данных игр.[17]