На последнем году обучения в школе Джона Хорна Квинси набирал 17,8 очков и совершал 7,8 подборов в среднем за матч. По данным Rivals.com был в списке 100 лучших игроков (80-е место, 22 место среди тяжёлых форвардов)[1].
В первом сезоне за университет Бэйлора Квинси набирал в среднем 5,4 очка и совершал 3,6 подбора за матч. Игрок установил рекорд колледжа в конференции Big 12, забив подряд 20 бросков с начала карьеры за колледж (15-24 ноября). Был назван лучшим новичком недели конференции Big 12 по итогам ноября. По итогам сезона Квинси был приглашен в символическую сборную конференции Big 12 для новичков[1].
Во втором сезоне игрок набирал в среднем 9,3 очка и совершал 5,1 подбор, выходя в Бэйлоре на замену как шестой игрок. По итогам сезона был назван в числе лучших резервистов конференции Big 12.[1]
На третьем году выступлений показатели игрока вновь улучшились, он набирал в среднем 12,4 очка и совершал 7,6 подборов в среднем за матч. В первом раунде турнира Big 12 Квинси набрал лучшие показатели в карьере: 21 очко и 15 подборов, однако команда проиграла Оклахоме. По итогам сезона был признан лучшим шестым игроком года конференции[1].
В последнем сезоне за колледж набирал 12 очков и совершал 7,4 подборов. По итогам сезона был включен во вторую команду конференции и сборную защиты конференции[1].
22 июля 2015 года подписал новый контракт с «Сакраменто Кингз» и вернулся в команду[6].
20 июля 2016 года Квинси Эйси заключил контракт с «Даллас Маверикс»[7]. Он сыграл 6 матчей за «Даллас» и был отчислен из клуба 18 ноября 2016 года[8]. 28 ноября Квинси стал игроком клуба лиги развития НБА «Лос-Анджелес Ди-Фендерс» и сразу же был обменян в «Техас Лэджендс»[9] . В дебютной встрече за «Техас» он в качестве игрока стартовой пятерке набрал 17 очков и взял 7 подборов за 17 минут игрового времени матча[10]. За «Лэджендс» Эйси сыграл 12 матчей, в который в среднем имел на своем счету 17,3 очка и 8,1 подборов[11].
10 января 2017 года Квинси Эйси подписал 10-дневный контракт с «Бруклин Нетс»[11]. В тот же день он дебютировал за «Нетс» в игре против «Атланта Хокс» и набрал 4 очка за минуту игрового времени матча[12]. 30 января 2017 «Бруклин» и Квинси Эйси согласовали условия двухлетнего контракта[13][14].