Лемма Зальцмана — утверждение в теории нормальных семейств мероморфных функций, сформулированное и доказанное американским математиком Лоуренсом Зальцманом (нем. Lawrence Zalcman ) в 1975 году . Часто используется как демонстрация принципа Блоха (англ. Bloch’s principle ), согласно которому любое утверждение комплексного анализа , содержащее актуальную бесконечность , может быть сформулировано финитными средствами.
Формулировка
Пусть
F
{\displaystyle F}
— семейство мероморфных в единичном круге
Δ Δ -->
{\displaystyle \Delta }
функций, не являющееся нормальным [англ.] в нуле. Тогда существует последовательность функций
{
f
n
}
⊂ ⊂ -->
F
{\displaystyle \{f_{n}\}\subset F}
, бесконечно малые числовые последовательности
{
z
n
}
,
{
ρ ρ -->
n
}
⊂ ⊂ -->
C
{\displaystyle \{z_{n}\},\{\rho _{n}\}\subset \mathbb {C} }
и функция
f
{\displaystyle f}
, мероморфная в
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
, такие, что имеет место сходимость
{
f
n
(
z
n
+
ρ ρ -->
n
z
)
}
→ → -->
f
(
z
)
{\displaystyle \{f_{n}(z_{n}+\rho _{n}z)\}\to f(z)}
равномерно в
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
.
Ссылки
Weisstein, Eric W. «Zalcman’s Lemma» // MathWorld
Zalcman L. Heuristic principle in complex function theory // Amer. Math. Monthly. — 1975. — Т. 82 . — С. 813–817 .