С 2013 по 2015 годы Линч выступал в NCAA за университет Иллинойса, а с 2016 по 2018 годы за университет Миннесоты. В 2017 году Реджи был признан лучшим защищающимся игроком турнира Big Ten. Последний сезон на студенческом уровне завершился для Линча досрочно, поскольку в феврале 2018 года он был обвинён в домогательствах к женщине.
Профессиональная карьера Линча началась в эстонском «Калеве»[1]. В Единой лиге ВТБ статистика Реджи составила 7,0 очка, 4,0 подбора и 1,9 блок-шота за матч.
Сезон 2019/2020 Линч провёл в «Урании», набирая в среднем 11,3 очка, 6,5 подбора и 2,6 блок-шота. По итогам сезона Реджи был признан лучшим защищающимся игроком во втором итальянском дивизионе.
В августе 2020 года Линч перешёл в «Локомотив-Кубань»[2]. В 18 матчах Единой лиги ВТБ Реджи набирал 7,7 очка, 3,7 подбора и 1,9 блок-шота.
13 декабря 2020 года, в игре против «Зенита» (96:81), Линч отметился 6 блок-шотами и повторил рекорд сезона 2020/2021 в Единой лиге ВТБ по этому показателю[3].
В августе 2021 года Линч стал игроком «Ираклиса». В 6 матчах чемпионата Греции Реджи набирал в среднем 12 очков, 5,3 подбора и 3,5 блок-шота. В Кубке Европы ФИБА его статистика составила 14,0 очка, 5,5 подбора и 4,0 блок-шота.