Ограничение скаляров (известное также как «ограничение Вейля») — это функтор, который для любого конечного расширения поля L/k и любого алгебраического многообразия X над L даёт другое многообразие ResL/kX, определённое над k. Ограничение скаляров полезно для сведения вопросов о многообразиях над большими полями к вопросам о более сложных многообразиях над меньшими полями.
Определение
Пусть L/k будет конечным расширением поля, а X — многообразием, определённым над L. Функтор
из k-схемop в множества определяется выражением
![{\displaystyle \mathrm {Res} _{L/k}X(S)=X(S\times _{k}L)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5eaac1980647c09de8baa8b966445d920597e0fe)
(В частности, k-рациональные точки многообразия
являются L-рациональными точками многообразия X.) Многообразие, которое представляет этот функтор, называется ограничением скаляров и оно единственно с точностью до изоморфизма, если существует.
С точки зрения пучков множеств ограничение скаляров является просто дифференциалом вдоль морфизма Spec L
Spec k и сопряжёно справа расслоенному произведению схем[англ.], так что вышеприведённое определение можно перефразировать в более общем виде. В частности, можно заменить расширения поля на любой морфизм окольцованных топосов, а предположение о X может быть ослаблено, к примеру, до стеков. Это приводит к более слабому контролю над поведением ограничения скаляров.
Свойства
Для любого конечного расширения поля ограничение скаляров переводит квазипроективное многообразие в квазипроективное многообразие. Размерность получаемого многообразия умножается на степень расширения.
При подходящих условиях (например, плоский, собственный, конечно определённый), любой морфизм
алгебраических пространств[англ.] даёт функтор ограничения скаляров, который переводит алгебраические стеки[англ.] в алгебраические стеки, сохраняя такие свойства, как стек Артина, стек Делиня — Мамфорда и представимость.
Примеры и приложения
1) Пусть L — конечное расширение поля k степени s. Тогда
(Spec L) = Spec(k) и
является s-мерным аффинным пространством
над Spec k.
2) Если X является аффинным L-многообразием, определённым выражением
![{\displaystyle X={\text{Spec}}L[x_{1},\dots ,x_{n}]/(f_{1},\dots ,f_{m})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6b58e8a34d4a8cfedef2b843dc053af1cd0084a)
мы можем записать
как Spec
, где yi,j
(
) новые переменные,
а gl,r
(
) является многочленом от
получаемый выбором k-базиса
расширения L и полагая
и
.
3) Ограничение скаляров над конечным расширением поля переводит групповые схемы[англ.] в групповые схемы.
В частности:
4) Тор
,
где Gm означает мультипликативную группу, играет существенную роль в теории Ходжа, поскольку таннакиева категория[англ.] вещественных структур Ходжа эквивалентен категории представлений S. Вещественные точки имеют структуру группы Ли, изоморфную
. См. Группа Мамфорда–Тейта[англ.].
5) Ограничение Вейля
(коммутативного) группового многообразия
снова является (коммутативным) групповым многообразием размерности
, если L сепарабельно над k. Александр Момот применил ограничения Вейля коммутативных групповых многообразий с
и
с целью получить новые результаты в теории трансцендентности, которая основывалась на увеличении алгебраической размерности.
6) Ограничение скаляров на абелевых многообразиях (например, эллиптических кривых) дают абелевы многообразия, если L сепарабельно над k. Джеймс Миль использовал это для сведения гипотезы Бёрча — Свиннертон-Дайера над абелевыми многообразиями над всеми числовыми полями к той же гипотезе над рациональными числами.
7) В эллиптической криптографии спуск Вейля использует ограничение Вейля для преобразования задачи дискретного логарифмирования на эллиптической кривой над конечным расширением поля L/K в задачу дискретного логарифмирования на многообразии Якоби[англ.] гиперболической кривой[англ.] над базовым полем K, которую потенциально решить легче ввиду меньшего размера поля K.
Построения Вейля по сравнению с преобразованиями Гринберга
Ограничение скаляров аналогично преобразованию Гринберга, но не обобщает его, поскольку кольцо векторов Витта на коммутативной алгебре A в общем случае не является A-алгеброй.
Примечания
Литература