Пространство непрерывных функций

Пространство непрерывных функций — линейное нормированное пространство, элементами которого являются непрерывные на отрезке $[a,b]$ функции (обычно обозначается ${\mathrm {C} }[a,b]$ , иногда $C^{0}[a,b]$ или $C^{(0)}[a,b]$ или $C(a,b)$ ) . Норма в этом пространстве определяется следующим образом:

\|x\|_{{\mathbf {C} }[a,b]}=\max _{t\in [a,b]}|x(t)|

Эту норму также называют нормой Чебышёва или равномерной нормой, так как сходимость по этой норме эквивалентна равномерной сходимости.

Свойства

Если последовательность $x_{n}$ $x_{n}$ элементов из ${\mathrm {C} }[a,b]$ ${\mathrm {C} }[a,b]$ сходится в этом пространстве к некоторой предельной функции $x(t)$ $x(t)$ , то $x_{n}\rightrightarrows x$ $x_{n}\rightrightarrows x$ при $n\to \infty$ $n\to \infty$ .
- Отсюда: ${\mathrm {C} }[a,b]$ — банахово пространство.
Пространство непрерывных функций сепарабельно: счётное всюду плотное множество в нём образует множество всех многочленов с рациональными коэффициентами. Это утверждение получается как следствие аппроксимационной теоремы Вейерштрасса.
В ${\mathrm {C} }[a,b]$ не выполняется тождество параллелограмма, поэтому норма в нём не порождает никакого скалярного произведения.

Вариации и обобщения

Аналогичным образом это пространство строится так же и над областями и их замыканиями. В случае некомпактного множества максимум надо заменить на точную верхнюю грань.

Итак, пространством непрерывных ограниченных функций (вектор-функций) $C(X,Y)$ называется множество всех непрерывных ограниченных функций $x:X\to Y$ со введённой на нём нормой:

\|x\|_{C(X,Y)}=\sup _{t\in X}\|x(t)\|_{Y}.

Наряду с чебышёвской нормой часто рассматривается пространство непрерывных функций с интегральной нормой:

\|x\|=\int \limits _{a}^{b}|x(t)|\,dt

В смысле этой нормы пространство непрерывных на отрезке функций уже не образует полного линейного пространства. Фундаментальной, но не сходящейся в нем является, например, последовательность $x_{n}$

x_{n}(t)={\begin{cases}1,\quad t\geqslant {\frac {1}{n}}\\nt,\quad t\in (-{\frac {1}{n}},{\frac {1}{n}})\\-1,\quad t\leqslant -{\frac {1}{n}}\end{cases}}

Его пополнение есть $L_{1}[a,b]$ — пространство суммируемых функций.

Литература

Колмогоров А. Н., Фомин С. И. Элементы теории функций и функционального анализа. — М.: Наука, 2004.
Л. А. Люстерник, В. И. Соболев. Элементы функционального анализа. — М.: Наука, 1965.
M. Reed, B. Simon. Methods of modern mathematicals physics. Vol.1 Functional Analysis. — New York London: Academic Press, 1973.
Иосида К. Функциональный анализ. — М.: Мир, 1967.