Ма́триця — математичний об'єкт, записаний у вигляді прямокутної таблиці чисел (чи елементів кільця), він допускає операції (додавання, віднімання, множення та множення на скаляр). Зазвичай, матриці представляються двовимірними (прямокутними) таблицями. Іноді розглядають багатовимірні матриці або матриці непрямокутної форми. У цій статті вони розглядатися не будуть.
Матрицею розміру (m-на-n,або mn-матрицею) називається множина з елементів , розміщених у вигляді прямокутної таблиці з рядків і стовпців, а і — її розмірністю:
де – елемент матриці; – номер рядка; – номер стовпця.
при альтернативному позначенні використовуються великі круглі дужки:
Горизонтальні лінії в матриці звуть рядками, вертикальні — стовпчиками або стовпцями.
Елемент матриці A, що знаходиться на перетині i-го рядка з j-им стовпчиком, називають i,j-им елементом або (i,j)-им елементом A.
Часто пишуть для означення матриці A розмірності n x m, де кожен елемент матриці A[i,j] позначають як aij для всіх 1 ≤ i ≤ n та 1 ≤ j ≤ m.
Приклад
Матриця
є матрицею 4×3. Елемент A[2,3], або дорівнює 7.
Розмір
Розмір матриці визначає кількість рядків і стовпців, які вона містить. Матрицю із m рядками і n стовпцями називають матрицею m × n або m-на-n матрицею, а самі m і n називають розмірами матриці.
Матриці, які мають лише один рядок називаються векторами-рядками, а ті що мають один стовпець називаються векторами-стовпцями. Матриця з однаковою кількістю рядків і стовпців називається квадратною матрицею. Матриця з нескінченною кількістю рядків або стовпців (або їх обох) називається нескінченною матрицею. Наприклад, в комп'ютерних програмах, іноді зручно розглядати таку матрицю, що не містить рядків чи стовпців, що називається порожньою матрицею.
Назва
Розмір
Приклад
Визначення
Вектор-рядок
1 × n
Матриця з одним рядком, іноді використовується для представлення вектора
Вектор-стовпець
n × 1
Матриця з одним стовпцем, іноді використовується для представлення вектора
Матриця з однаковою кількістю рядків і стовпців, іноді використовується для представлення лінійних перетворень у векторному просторі, такі як обертання, відбиття і скіс.
Дії над матрицями
Операція порівняння
Дві матриці та називаються рівними , якщо рівні їх відповідні елементи, тобто .
Додавання
Якщо дано дві матриці m-на-nA і B, можемо визначити їх сумуA + B як матрицю m-на-n, що утворюється додаванням відповідних елементів, тобто,
(A + B)[i, j] = A[i, j] + B[i, j]. Наприклад,
Схематичне зображення добутку AB двох матриць A і B.
Множення двох матриць має сенс лише тоді, коли число стовпчиків першої матриці дорівнює числу рядків другої матриці. Якщо A — матриця m-на-n (m рядків, n стовпчиків), а B — матриця n-на-p (n рядків, p стовпчиків), їх добутокAB є матрицею m-на-p (m рядків, p стовпчиків), що розраховується за формулою:
(AB)[i, j] = A[i, 1] * B[1, j] + A[i, 2] * B[2, j] + ... + A[i, n] * B[n, j] для кожної пари i та j, тобто .
Наприклад,
Це множення має такі властивості:
(AB)C = A(BC) для всіх матриць A розмірності k-на-m, B розмірності m-на-n і C розмірності n-на-p (асоціативність).
(A + B)C = AC + BC для всіх матриць A і B розмірності m-на-n і матриць C розмірності n-на-k (дистрибутивність).
C(A + B) = CA + CB для всіх матриць A і B розмірності m-на-n і матриць C розмірності k-на-m (дистрибутивність).
Зауваження: комутативність має місце не завжди: для добутку певних матриць A і B може бути AB ≠ BA.
Транспонування матриці A розміром m-на-n утворює матрицю n-на-mAT (що також позначається як Atr або tA), яка є результатом перевертання рядків у стовпці й навпаки:
Матрицю можна розбити на блоки (підматриці) з елементів і присвоїти різним блокам імена. При цьому, коли один блок знаходиться під іншим, то ці блоки повинні мати однакове число стовпців. Коли ж два блоки розташовуються поруч, то вони повинні мати однакове число рядків. Дві блокові матриці, розбиті однаково (тобто відповідні блоки мають однакову розмірність).
Для транспонування блокових матриць необхідно транспонувати кожний блок окремо, а потім транспонувати розташування блоків:
Надалі ототожнюватимемо елементи Rn з множиною рядків або матриць n-на-1.
Для кожного лінійного відображенняf : Rn->Rm існує єдина матриця A розмірності m-на-n така, що f(x) = Ax для всіх x з Rn.
Кажемо, що матриця A «представляє» лінійне відображення f.
Тепер, якщо матриця B розмірності k-на-m представляє інше лінійне відображення g : Rm->Rk, лінійне відображення g o f представлене матрицею BA. Це випливає з зазначеної вище властивості асоціативності множення матриць.
Ранг матриціA — це розмірність образа лінійного відображення, представленого матрицею A. Вона збігається з розмірністю простору, згенерованого рядками матриці A, а також із розміром простору, згенерованого стовпчиками матриці A.
Транспонованою матрицею матриці A розмірності m-на-n є матриця Atr (також іноді позначають як AT або tA) розмірності n-на-m, яку одержують заміною рядків стовпчиками і навпаки, себто Atr[i, j] = A[j, i] для всіх індексів i та j. Якщо A описує лінійне відображення відносно двох базисів, матриця Atr описує транспозицію лінійного відображення відносно дуальних базисів, див. дуальний простір.
Матриці використовують для компактного представлення систем лінійних рівнянь і роботи з ними. Наприклад, якщо A є матрицею m-на-n, x позначає вектор стовпець (що є матрицею n×1) n змінних x1, x2, ..., xn, і b є вектором-стовпцем m×1, тоді матричне рівняння
є еквівалентним наступній системі лінійних рівнянь:
Із використанням матриць, це можна розв'язати у більш компактній формі ніж виписувати всі ці рівняння окремо. Якщо n = m а рівняння є незалежними, це можливо зробити записавши
Вектор заданий 2-на-2 матрицею відповідає сторонам одиничного квадрата, що перетворено на паралелограм.
Матриці й операція множення матриць розкривають свої важливі властивості при застосуванні для лінійних перетворень, що також називають лінійними відображеннями. Дійсна m-на-n матриця A задає лінійне перетворення Rn → Rm і відображає кожен вектор x у Rn у матричний добуток Ax, що в свою чергу є вектором у Rm. Відповідно, кожне лінійне перетворення f: Rn → Rm може здаватися унікальною m-на-n матрицею A: більш детально, (i, j)-входження із A є iю координатою f(ej), де ej = (0,...,0,1,0,...,0) є одиничним вектором зі значенням 1 у jій позиції і 0 в інших позиціях. Говорять, що матриця A задає лінійне відображення f, і A називається матрицею перетворення для f.
Наприклад, матрицю 2×2
можна розглядати як перетворення одиничного квадрату у паралелограм із вершинами у (0, 0), (a, b), (a + c, b + d), і (c, d). Паралелограм зображений праворуч отримано за допомогою множення A на кожний вектор-стовпець і по черзі. Ці вектори задають вершини одиничного квадрату.
Наступна таблиця показує декілька 2-на-2 матриць із відповідними лінійними відображеннями у R2. Початкова синя фігура відображається у зелену сітку і фігуру. Початок координат (0,0) відмічено чорною точкою.
Квадратною матрицею називають матрицю з однаковою кількістю рядків і стовпців. Матриця n-на-n є квадратною матрицею порядку n. Будь-які дві квадратні матриці однакового порядку можна додавати й множити.
Входження aii утворюють головну діагональ квадратної матриці. Вони знаходяться на уявній лінії, яка проходить від верхнього лівого кута до нижнього правого кута матриці.
Якщо всі елементи матриці A нижче головної діагоналі дорівнюють нулю, A називають верхньотрикутною матрицею. Аналогічно, якщо всі елементи A вище головної діагоналі дорівнюють нулю, A називають нижньотрикутною матрицею. У випадку, коли всі елементи матриці крім головної діагоналі є нулями, A називають діагональною матрицею.
Одинична матрицяIn розміром n є матрицею n-на-n в якій всі елементи головної діагоналі дорівнюють 1 а всі інші елементи дорівнюють 0, наприклад,
Це квадратна матриця порядку n, і також це є особливим випадком діагональної матриці. Вона називається діагональною матрицею, оскільки множення на неї залишає матрицю незмінною:
AIn = ImA = A для будь-якої m-на-n матриці A.
Симетричні або кососиметричні матриці
Квадратна матриця A що дорівнює своїй транспонованій матриці, тобто, A = AT, є симетричною матрицею. Якщо замість того, A дорівнює негативній транспонованій матриці, тобто, A = −AT, то A є кососиметричною матрицею. У випадку комплексних матриць, поняття симетрії часто заміняється поняттям Ермітової матриці, що задовольняє умові A∗ = A, де зірочка позначає ермітове-спряження матриці, що є транспонованою комплексною спряженою матриці A.
Відповідно до спектральної теореми, дійсні симетричні матриці і комплексні Ермітові матриці мають власний базис; такий що, кожен вектор можна задати у вигляді лінійної комбінації власних векторів. В обох випадках всі власні значення є дійсними.[2]
Невироджена матриця і її обернена
Квадратна матриця A називається невиродженою або не-сингулярною якщо існує матриця B, така що
де Inn×n є одиничною матрицею із 1-ями на головній діагоналі і 0-ми в інших місцях. Якщо B існує, вона є єдиною і називається оберненою матрицею для A, і позначається як A−1.
Симетрична n×n-матриця A називається додатноозначеною якщо для всіх не нульових векторів x ∈ Rn відповідна квадратична форма, що задається як
f(x) = xTA x
утворює в результаті лише додатні значення для будь-якого вхідного вектору x. Якщо f(x) приводить до утворення лише від'ємних значень тоді A є від'є́мно ви́значеною; якщо f утворює як додатні, так і від'ємні значення, тоді A є невизначеною.[5] Якщо квадратична форма f породжує лише не-від'ємні значення (додатні або нуль), симетрична матриця називається додатно напіввизначеною. Таблиця праворуч показує два варіанти для матриць 2-на-2.
Якщо в якості входів задати два різні вектори буде отримана білінійна форма, що пов'язана з A:
Ортогональна матриця це квадратна матриця із дійсними елементами, чиї стовпці і рядки є ортогональнимиодиничними векторами (тобто, ортонормованими векторами). Це рівносильно тому, що матриця A є ортогональною якщо її транспонована матриця дорівнює її оберненій матриці:
що тягне за собою
де I є одиничною матрицею розміром n.
Основні операції
Слід матриці
Слід, tr(A) квадратної матриці A є сумою елементів її діагоналі. Хоча операція множення не є комутативною, слід добутку двох матриць не залежить від порядку операцій:
tr(AB) = tr(BA).
Це випливає прямо з визначення операції множення матриць:
Також, слід матриці буде дорівнювати сліду її транспонованої матриці, тобто,
Лінійне перетворення R2 задане наведеною матрицею. Визначник матриці дорівнює −1, площа зеленого паралелограма праворуч дорівнює 1, але відображення має обернену орієнтацію.
Визначник (визначник) det(A) або |A| квадратної матриці A, що визначає деякі властивості матриці. Матриця є невиродженою, тоді й тільки тоді, коли її детермінант не є нульовим. Його абсолютне значення дорівнює площі (у R2) або об'єму (у R3) відображення одиничного квадрата (або куба), а його знак відповідає орієнтації відповідного лінійного відображення: визначник є додатним тоді, й тільки тоді, коли орієнтація зберігається.
Додавання до рядка іншого рядка помноженого на деяке значення, або додавання стовпця до іншого стовпця, не змінює детермінанта матриці. Заміна місцями двох рядків або стовпців приводить до зміни знаку визначника, тобто множення його на −1.[9] Використовуючи ці операції, можна звести будь-яку матрицю до нижньої (або верхньої) трикутної матриці, а для таких матриць визначник буде дорівнювати добутку елементів головної діагоналі; що є методом розрахунку визначника будь-якої матриці. З рештою, розклад Лапласа дозволяє виразити визначник через мінори, тобто, детермінанти менших матриць.[10] Це розкладання можна використовувати для рекурсивного визначення визначника, що можна розглядати як рівнозначний до формули Лейбніца. Визначник використовується для розв'язання систем лінійних рівнянь за допомогою методу Крамера.[11]
Матриці в абстрактній алгебрі
Якщо взяти кільцеR, можемо розглядати множину M(m,n, R) усіх матриць m на n з елементами з R. Додавання та множення цих матриць може бути означене, як у випадку дійсних чи комплексних матриць. Множина M(n, R) усіх квадратних матриць n на n над кільцем R сама є кільцем, ізоморфним до кільця ендоморфізмів правого R-модуляRn.
Також, якщо елементи беруться з напівкільцяS, додавання та множення матриць можна означити звичайним чином. Множина всіх квадратних матриць n×n над S сама є напівкільцем. Зважте на те, що алгоритми множення матриць, такі як алгоритм Штрассена, взагалі застосовні лише до матриць над кільцями і не працюють для матриць над напівкільцями, що не є кільцями.
Матриці, дії над матрицями // Вища математика в прикладах і задачах / Клепко В.Ю., Голець В.Л.. — 2-ге видання. — К. : Центр учбової літератури, 2009. — С. 5-7. — 594 с.
Узагальнена еквівалентність матриць і їх наборів та факторизація матриць над кільцями : монографія / В. М. Петричкович ; НАН України, Ін-т приклад. проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача. – Львів : ІППММ, 2015. – 312 с. – Бібліогр.: с. 285-311 (245 назв). – ISBN 978-96-02-7619-2