Загальна лінійна група — в математиці група всіх оборотних квадратних матриць над деяким кільцем.
Формальне визначення
Загальною лінійною групою порядку
називається четвірка
, де:
є асоціативним кільцем з одиницею,
— оборотні матриці порядку
над даним кільцем,
- Груповою операцією є множення матриць,
- Зворотним елементом є обернена матриця,
- Одиничним елементом є одинична матриця.
Будь-яка підгрупа загальної лінійної групи називається лінійною групою.
Векторні простори
Якщо
— векторний простір над полем
, то загальною лінійною групою лінійного простру
або
називається група всіх автоморфізмів
, тобто множина всіх бієктивних лінійних відображень
де груповою операцією є композиція відображень .
Якщо простір V має скінченну розмірність
, то
і
ізоморфні. Однак, ізоморфізм не є канонічним, оскільки він залежить від вибору базисів
. Якщо
— базис, і автоморфізмів
, маємо
![{\displaystyle Te_{k}=\sum _{j=1}^{n}a_{jk}e_{j}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/564f864a40706e18d791948cdc021661beee2afd)
для деяких констант
. Матриця, відповідна
має елементами
.
Визначники
Матриця є оборотна над полем
, якщо і тільки якщо її визначник відмінний від нуля. Таким чином,
може бути визначена як група матриць з ненульовим визначником.
Для кільця
маємо: матриця над
є оборотною тоді і тільки тоді, коли її визначник є оборотним елементом в
. Отже,
може бути визначена як група матриць з оборотними визначниками.
Спеціальна лінійна група
Спеціальною лінійною групою порядку
над полем F називається лінійна група, що містить всі квадратні матриці порядку
з елементами поля
, визначник яких дорівнює одиниці. Спеціальна лінійна група позначається
.
Примітки
- Ці матриці утворюють групу, так як визначник добутку двох матриць дорівнює добутку їх визначників, і тому множина даних матриць замкнута відносно множення.
- Спеціальну лінійну групу
можна охарактеризувати як групу лінійних перетворень, що зберігають об'єм і напрям .
Скінченні поля
Якщо
є скінченним полем з
елементами, іноді використовується запис
.
Порядок
Порядок групи
.
Для прикладу, порядок
рівний (8 - 1) (8 - 2) (8 - 4) = 168. Це група автоморфізмів площини Фано, і групи
Аналогічні формули для
:
.
Властивості
- Якщо n > 2, то група
не є абелевою.
є нормальною підгрупою
.
- Нехай
буде мультиплікативною групою поля K, тоді визначник є гомоморфізмом груп:
.
є напівпрямим добутком ![{\displaystyle \operatorname {SL} (n,K)\rtimes K^{*}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe07be88099ac25d19bda5f228620a0154db844b)
Пов'язані групи
Проективна група
Проективна група
і проектні спеціальні лінійні групи
є факторгрупами
і
відносно скалярних матриць.
Афінна група
Афінна група
— розширення
за допомогою групи перенесень. Її можна записати за допомогою напівпрямого добутку:
. Афінна група може також розглядатися як групи всіх афінних перетворень афінного простору.
Див. також
Література
- Baker A. Matrix groups, an introduction to Lie groups Springer, 2002 ISBN 1852334703