Точна послідовність — поняття в математиці, зокрема в теорії груп, модулів та кілець, в гомологічній алгебрі, диференціальній геометрії.
Визначення
Точна послідовність — послідовність об'єктів та морфізмів між ними
![{\displaystyle G_{0}\;{\xrightarrow {f_{1}}}\;G_{1}\;{\xrightarrow {f_{2}}}\;G_{2}\;{\xrightarrow {f_{3}}}\;\cdots \;{\xrightarrow {f_{n}}}\;G_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3772de53cc6beaa50e35506ddcbe0dadeb80bf6)
така що, образ одного морфізму рівний ядру наступного:
![{\displaystyle \mathrm {im} (f_{k})=\mathrm {ker} (f_{k+1})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f729490978b45de1373f5251176025d6fb2af61)
Коротка точна послідовність
Найбільш поширеною є коротка точна послідовність
![{\displaystyle A\;{\overset {f}{\hookrightarrow }}\;B\;{\overset {g}{\twoheadrightarrow }}\;C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1fd42045744660c1e3f8a45b7912f3b3272af23c)
деƒ є мономорфізмом, а g є епіморфізмом. В цьому випадку, A є підоб'єктом B, і відповідна частка ізоморфна до C:
![{\displaystyle C\cong B/f(A)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/343750072014d1c6c8d506ae1584982530cde2af)
(де f(A) = im(f)).
Коротка точна послідовність абелевої групи може бути запичана як:
![{\displaystyle 0\;{\xrightarrow {}}\;A\;{\xrightarrow {f}}\;B\;{\xrightarrow {g}}\;C\;{\xrightarrow {}}\;0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2087865a29e10b53e490d8ec43b42e00478c3172)
де 0 означає нульовий об'єкт, такий як тривіальна група. Присутність 0 вимагає від ƒ бути мономорфізмом, а від g бути ефіморфізмом.
Якщо невідомо чи об'єкти є абелевими, тоді застосовується мультиплікативна нотація і використовується "1" замість "0". В цьому випадку запис виглядатиме:
![{\displaystyle 1\;{\xrightarrow {}}\;A\;{\xrightarrow {f}}\;B\;{\xrightarrow {g}}\;C\;{\xrightarrow {}}\;1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/749cc9b25f9a5aace5b23c116f7e590f3e15c15d)
Приклади
Розглянемо послідовність абелевих груп:
![{\displaystyle \mathbb {Z} \;{\overset {2\cdot }{\hookrightarrow }}\;\mathbb {Z} \twoheadrightarrow \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7895111a873e0e667ef773c87923146b6c3ea8f)
- Перша операція є множенням цілих чисел на 2. Стрілка
позначає, що це є мономорфізм.
- Друга операція визначає факторгрупу по модулю 2. Стрілка
позначає, що це є епіморфізм.
Це є точною послідовністю, бо образ 2Z мономорфізму є ядром епіморфізму. Також це може бути записано як:
![{\displaystyle 2\mathbb {Z} \;{\hookrightarrow }\;\mathbb {Z} \twoheadrightarrow \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5d2e34de379ce5f71593ce8646ae939a22c9568)
![{\displaystyle 0\to \mathbb {Z} \;{\xrightarrow {2\cdot }}\;\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \to 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58e726486232f5db252787c7b667aa6d28a4e7ba)
Див. також
Джерела