Các định lý đẳng cấu được lần đầu viết thành công thức bởi Emmy Noether trong bài Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in algebraischen Zahl- und Funktionenkörpern, bài viết được xuất bản năm 1927 trong tạo chí Mathematische Annalen. Các phiên bản ít tổng quát hơn có thể được tìm thấy trong công trình của Richard Dedekind và các bài viết trước của Noether.
Dưới đây bốn định lý được đánh dấu lần lượt là A, B, C và D. Chúng thường được đánh thứ tự "Định lý đẳng cấu thứ nhất", "Định lý đẳng cấu thứ hai...", v.v; Tuy nhiên, không có thống nhất giữa tên gọi của các định lý đẳng cấu và mỗi tác giả có thể có cách đặt tên khác nhau. Để minh chứng, dưới đây là ví dụ của các tên gọi cho các đẳng cấu nhóm. Để ý rằng các định lý này cũng có phần tương tự khi xét vành và môđun.
So sánh tên của các định lý đẳng cấu trong lý thuyết nhóm
Thường thì trong sách ít cho thêm định lý D, hay còn được gọi là định lý dàn, làm một trong các định lý đẳng cấu, nhưng khi cho thêm vào thì nó là cái cuối cùng.
Song,thực ra không cần thiết phải là nhóm con chuẩn tắc, chỉ cần là nhóm con của nhóm chuẩn hóa của trong là được. Trong trường hợp này, giao không phải nhóm con chuẩn tắc của , nhưng nó vẫn là nhóm con chuẩn tắc của .
Định lý này đôi khi được gọi là định lý đẳng cấu,[10]định lý hình thoi[12] hoặc định lý hình bình hành.[13]
Một ứng dụng của định lý đẳng cấu thứ hai là dùng để xác định các nhóm tuyến tính xạ ảnh, ví dụ nhóm trên đường xạ ảnh phức bắt đầu bằng cách đặt , nhóm của các ma trậnphứckhả nghịch kích thước 2 × 2, , là nhóm con của các ma trận có định thức bằng 1, và là nhóm con chuẩn tắc của các ma trận scalar , ta có , trong đó là ma trận đơn vị, và . Khi đó, từ định lý đẳng cấu thứ hai ta được:
Định lý C (nhóm)
Gọi là nhóm và là nhóm con chuẩn tắc của .
Khi đó
Nếu là nhóm con của sao cho , thì có nhóm con đẳng cấu với .
Mọi nhóm con của có dạng cho một số nhóm của sao cho .
Nếu là nhóm con chuẩn tắc của sao cho , thì có nhóm con chuẩn tắc đẳng cấu với .
Mọi nhóm con chuẩn tắc của có dạng cho một số nhóm con chuẩn tắc của sao cho .
Nếu là nhóm con chuẩn tắc của sao cho , thf nhóm thương đẳng cấu với .
Đặc biệt là, nếu φ là toàn ánh thì S đẳng cấu với R / ker(φ).[15]
Định lý B (vành)
Đặt R là vành. Gọi S là vành con của R, và gọi I là ideal của R. Khi đó:
TổngS + I = {s + i | s ∈ S, i ∈ I } là vành con của R,
Phần giao S ∩ I là ideal của S, và
Hai vành thương (S + I) / I và S / (S ∩ I) đẳng cấu với nhau.
Định lý C (vành)
Đặt R là vành, và I là ideal của R. Khi đó
Nếu là vành con của sao cho , thì là vành con của .
Mọi vành con của có dạng cho một số vành con của sao cho .
Nếu là ideal của sao cho , thì à ideal của .
Mọi ideal của có dạng cho một số ideal của sao cho .
Nếu là ideal của sao cho , thì vành thương đẳng cấu với .
Định lý D (vành)
Gọi là ideal của .Phép tương ứng là ánh xạ bảo toàn phép chứa giữa tập các vành con chứa của sang tập các vành con của . Hơn nữa, (vành con chứa ) là ideal của khi và chỉ khi là ideal của .[16]
Môđun
Phát biểu của các định lý dành cho các môđun đơn giản hơn vì ta luôn thu được môđun thương từ bất kỳ môđun con. Các định lý đẳng cấu cho không gian vectơ (môđun trên một trường) và nhóm giao hoán (môđun trên ) là các trường hợp đặc biệt. Đối với các không gian vectơ hữu hạn số chiều, tất cả các định lý này đều có thể suy ra được từ định lý về hạng.
Dưới đây, từ "môđun" luôn có nghĩa "R-môđun" cho một số vành cố định R.
Định lý A (môđun)
Đặt M và N là môđun và φ : M → N là đồng cấu môđun. Khi đó:
Đặc biệt là, nếu φ là toàn ánh thì N đẳng cấu với M / ker(φ).
Định lý B (môđun)
Đặt M là môđun, và đặt S và T là môđun con của M. Khi đó:
Tổng S + T = {s + t | s ∈ S, t ∈ T} là môđun con của M,
Phần giao S ∩ T là môđun con của M, và
Môđun thương (S + T) / T và S / (S ∩ T) đẳng cấu với nhau.
Định lý C (môđun)
Đặt M là môđun, T là môđun con của M.
Nếu là môđun con của sao cho , then là môđun con của .
Mọi môđun con of có dạng cho một số môđun con của sao cho .
Nếu là môđun con of sao cho , thì môđun thương đẳng cấu với .
Định lý D (môđun)
Đặt là môđun, và là môđun con của . Khi đó có song ánh giữa các môđun con của có chứa và các môđun con của . Phép tương ứng được cho bởi với mọi . Phép tương ứng này giao hoán với quá trình lấy tổng và phần giao (tức là nó là đồng cấu dàn giữa dàn của các môđun con của và dàn của các môđun con có chứa ).[17]
Đại số phổ dụng
Để tổng quát hóa sang đại số phổ dụng, các nhóm con chuẩn tắc cần phải được thay bằng các quan hệ tương đẳng.
Quan hệ tương đẳng (hay tương đẳng) trên đại số là quan hệ tương đương tạo đại số con của , đại số con này được coi là đại số đi cùng phép toán từng phần. Ta có thể biến tập của các lớp tương đương thành một đại số có cùng kiểu qua các phép toán qua phần tử đại diện. Các phép toán này sẽ được định nghĩa tốt bởi bởi là đại số con của . Cấu trúc thu về được được gọi là đại số thương.
Định lý A (đại số phổ dụng)
Gọi là đồng cấu đại số. Khi đó ảnh của là đại số con của , quan hệ cho bởi (tức hạt nhân của ) tương đẳng trên , và hai đại số và đẳng cấu với nhau (Lưu ý rằng trong trường hợp nhóm, , nên ta có thể tìm ra khái niệm của hạt nhân trong lý thuyết nhóm trong trường hợp này.)
Định lý B (đại số phổ dụng)
Cho đại số , và đại số con của , cùng với tương đẳng trên , gọi là vết của trong và là họ các lớp tương đương giao với . Khi đó
là tương đẳng trên ,
là đại số con của , và
Đại số đẳng cấu với đại số .
Định lý C (đại số phổ dụng)
Cho là đại số và là hai quan hệ tương đẳng trên sao cho . Khi đó tương đẳng trên , và đẳng cấu với
Định lý D (đại số phổ dụng)
Cho là đại số và đặt là tập các tương đẳng trên . Tập
là dàn đầy đủ sắp thứ tự theo phép chứa.[18]
Nếu là tương đẳng và ta ký hiệu là tập tất cả các tương đẳng chứa (tức là là bộ lọc chính của , hơn nữa nó còn là dàn con), khi đo
ánh xạ là đẳng cấu dàn.[19][20]
Emmy Noether, Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in algebraischen Zahl- und Funktionenkörpern, Mathematische Annalen96 (1927) pp. 26–61
Colin McLarty, "Emmy Noether's 'Set Theoretic' Topology: From Dedekind to the rise of functors". The Architecture of Modern Mathematics: Essays in history and philosophy (edited by Jeremy Gray and José Ferreirós), Oxford University Press (2006) pp. 211–35.