由0.1到100的常用對數
標準對數,也称常用對數(英語:Common logarithm[註 1])在數學是以10為底數的對數函數,其逆函數是以10作基數的指數函數。
底為10的對數表达式以log10(x)表示,有時以英文大寫字母L表示Log(x)[註 2]。計算機的標記通常是“log”,但數學家通常区分自然对数[註 3]和常用對數。為了區分開來,ISO 80000規範建議log10(x)應寫成lg (x),logₑ(x)應寫成ln (x)。
數學表达
常用對數一般表示成
,或简写成
,正式寫法是
;而常用對數逆函數為
。
用途
常用對數表,顯示數字1000到1500的常用對數至五位小數,全表涵蓋大至9999的數
常用對數可令「十變一,億變八」(數算整數位以上的零的數目),多數用於比較並表達聲音強度(分貝)、酸鹼值、地震規模(芮氏震級)、星等等相差層次很大的數值。常見例子是化學用的氫離子指數,定義如
。
20世紀70年代初之前還沒有手持電子計算器可用,能倍增的機械計算器體積龐大,價格昂貴並不廣泛使用。相反,當計算所需的精度比使用計算尺能達到的要求更高時,科學,工程和導航用的是底數為10的對數表格。使用對數避免了繁瑣且容易出錯的筆算乘法和分割。對數非常有用,許多教科書的附錄都有底為10的對數表格。數學和導航手冊也包括三角函數的對數表。
底為10的對數一個重要特性使得它們在計算中非常有用,大於1的對數相差10倍的冪,小數部分都相同,對數表只需顯示小數部分,稱尾數(mantissa)。常用對數表通常列出範圍內各數的尾數,小數點後4至5位,如1000到9999。這範圍涵蓋尾數的所有可能值。
整數部分稱特徵(characteristic),可數算小數點必須移動多少位來計算,以便它僅在第一有效位的右側,如120的對數由以下計算得出:
- log120=log(10²×1.2)=2+log1.2≈2+0.07918。
最後數字(小數部分0.07918,或120的常用對數尾數)可在下表找到。小數點在120的位置告訴我們120的常用對數特徵是2。
大於0且小於1的數字有負對數,為了避免需要另外的表格將正負對數轉換回原數,有時會用小節符號表示:
![{\displaystyle \log _{10}0.012=\log _{10}(10^{-2}\times 1.2)=-2+\log _{10}1.2\approx -2+0.07918={\bar {2}}.07918=-1.92082}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/780a5556fa83c3c4ba29fc2a5a0576b3ec695385)
特徵上的橫線表明其為負值,而尾數仍為正值,符號
讀作“bar n”,
讀作“bar 2 point 07918”。
以下示例用小節符號計算0.012×0.85=0.0102:
![{\displaystyle {\begin{array}{rll}{\text{As found above,}}&\log _{10}0.012\approx {\bar {2}}.07918\\{\text{Since}}\;\;\log _{10}0.85&=\log _{10}(10^{-1}\times 8.5)=-1+\log _{10}8.5&\approx -1+0.92942={\bar {1}}.92942\;,\\\log _{10}(0.012\times 0.85)&=\log _{10}0.012+\log _{10}0.85&\approx {\bar {2}}.07918+{\bar {1}}.92942\\&=(-2+0.07918)+(-1+0.92942)&=-(2+1)+(0.07918+0.92942)\\&=-3+1.00860&=-2+0.00860\;^{*}\\&\approx \log _{10}(10^{-2})+\log _{10}(1.02)&=\log _{10}(0.01\times 1.02)\\&=\log _{10}(0.0102)\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f350eae0afff446b0562581d4f185ab3459fa10f)
下表顯示如何將相同的尾數用於不同10次方的數字範圍:
一數乘不同10次方之常用對數、特徵及尾數
數:5×10i
|
常用對數:logn
|
特徵i:floor(logn)
|
尾數logn-特徵
|
combined form
|
5000000
|
6.698970…
|
6
|
0.698970…
|
6.698970…
|
50
|
1.698970…
|
1
|
0.698970…
|
1.698970…
|
5
|
0.698970…
|
0
|
0.698970…
|
0.698970…
|
0.5
|
−0.301029…
|
−1
|
0.698970…
|
1.698970…
|
0.000005
|
−5.301029…
|
−6
|
0.698970…
|
6.698970…
|
,
尾數對所有5×10i都通用,適用於任何正實數
。
對數表每條尾數可以只列一次。在5×10i的例子中,0.698970(004336018…)列在5(或0.5或500等)之下一次。
歷史
以10为底的对数对计算最常用,工程师通常简写成“ lg( x ) ”。另一方面,数学家在表示自然对数的logₑ(x)时会写成“ ln(x)”,这两种符号現今都广泛使用。
手持电子计算器由工程师而非数学家设计,遵循工程师的符号已成为惯例;记法“ln(x)”在发明电子计算器後大幅普及。
數值
注释
參見