扭棱立方体
扭棱立方體的結構,紅色是扭稜 前的正方形 面、藍色三角形 代表扭稜 前立方體頂點、黃色代表扭稜所產生的新的面
在幾何學 中,扭棱立方體 (英語:snub cube [ 1] ),又稱擬立方體 (英語:cubus simus [ 2] [ 3] )是一種由38個面組成的阿基米德立體 [ 4] ,由6個正方形 和32個正三角形 組成,共有60條邊和24個頂點 [ 5] 。
性質
扭棱立方體是一個手性多面體 [ 6] ,也就是說,該多面體 鏡射 之後會跟原本的型形狀不同,無法藉由旋轉 半周再回到原本的形狀[ 7] [ 8] [ 9] 。扭棱立方體是一種阿基米德立體 ,其所有的面都是正多邊形 ,且每個頂點都是4個三角形和一個正方形,其頂點圖 計為3.3.3.3.4或34 .4[ 10] ,由於所有頂點 相等,因此也稱為半正多面體 。
體積與表面積
邊長為單位長的扭棱立方體表面積 為
6
+
8
3
{\displaystyle 6+8{\sqrt {3}}}
,體積 為:
613
t
+
203
9
(
35
t
− − -->
62
)
≈ ≈ -->
7.889
294
677
71
,
{\displaystyle {\sqrt {\frac {613t+203}{9(35t-62)}}}\approx 7.889\,294\,677\,71,}
其中t表示三波那契常數 :
1
+
19
+
3
33
3
+
19
− − -->
3
33
3
3
≈ ≈ -->
1.839
29
{\displaystyle {\tfrac {1+{\sqrt[{3}]{19+3{\sqrt {33}}}}+{\sqrt[{3}]{19-3{\sqrt {33}}}}}{3}}\approx 1.839\,29}
。
由於扭棱立方體由6個正方形 和32個正三角形 組成,因此其表面積即6倍的正方形面積和32倍的正三角形面積 。
二面角
扭棱立方體有兩種不同角度 的二面角 ,分別是三角形-三角形二面角和三角形-正方形二面角。其中三角形-三角形二面角餘角的餘弦 值是三次方程
27
x
3
+
9
x
2
− − -->
15
x
− − -->
13
{\displaystyle 27x^{3}+9x^{2}-15x-13}
的零點 、三角形-正方形二面角餘角的餘弦 值是六次方程
27
x
6
− − -->
99
x
4
− − -->
129
x
2
− − -->
49
{\displaystyle 27x^{6}-99x^{4}-129x^{2}-49}
的零點 。
三角形-三角形二面角以反正割 表示為:
2
sec
− − -->
1
-->
(
12
R
2
− − -->
3
)
≈ ≈ -->
2.674448083
{\displaystyle 2\sec ^{-1}({\sqrt {12R^{2}-3}})\approx 2.674448083}
換算成角度約為153.23度或153度14分04秒。
三角形-正方形二面角為:
sec
− − -->
1
-->
(
12
R
3
− − -->
3
)
+
sec
− − -->
1
-->
(
4
R
2
− − -->
1
)
≈ ≈ -->
2.495531630
{\displaystyle \sec ^{-1}({\sqrt {12R^{3}-3}})+\sec ^{-1}({\sqrt {4R^{2}-1}})\approx 2.495531630}
換算成角度約為142.98度或142度59分00秒。
其中R為邊長為單位長之扭棱立方體外接球 的半徑 。
正交投影
扭棱立方體的正交投影
建立於
正三角形面
正方形面
邊
圖像
投影對稱性
[3]
[4]+
[2]
對偶圖像
球面鑲嵌
幾何關聯
扭棱立方體可透過扭曲小斜方截半立方體的正方形面得到
扭棱立方體可透過將立方體 的正方形面向外拉,使之不再相連,然後再將正方形面旋轉一個角度,再將空隙以三角形補滿而得
相關多面體及鑲嵌
扭棱立方體是立方體經過扭棱變換後的結果,其他也是由立方體透過康威變換得到的多面體有:
對稱性 : [4,3], (*432)
[4,3]+ (432)
[1+ ,4,3] = [3,3](*332)
[3+ ,4](3*2)
{4,3}
t{4,3}
r{4,3} r{31,1 }
t{3,4} t{31,1 }
{3,4} {31,1 }
rr{4,3} s2 {3,4}
tr{4,3}
c{4,3}
sr{4,3}
h{4,3} {3,3}
h2 {4,3} t{3,3}
s{3,4} s{31,1 }
=
=
=
= or
= or
=
對偶多面體
V43
V3.82
V(3.4)2
V4.62
V34
V3.43
V4.6.8
V4.62 /63
V34 .4
V33
V3.62
V35
扭稜立體
原像
正四面體
立方體
正八面體
正十二面體
正二十面體
扭稜
扭棱四面體 sr{3,3}
扭棱立方体 sr{4,3}
扭棱八面體 sr{3,4}
扭棱十二面体 sr{5,3}
扭棱二十面体 sr{3,5}
完全扭稜
完全扭稜四面體 β{3,3}
完全扭稜立方體 β{4,3}
二複合二十面體 β{3,4}
完全扭稜十二面體 β{5,3}
完全扭稜二十面體 β{3,5}
參見
參考文獻
^ Wenninger, M. J. "The Snub Cube." Model 17 in Polyhedron Models. Cambridge, England: Cambridge University Press, p. 31, 1989.
^ Kepler, J. Harmonices Mundi. 1619. Reprinted Opera Omnia, Lib. II. Frankfurt, Germany. [ASIN B0000DN8M2 網路書源ASIN B0000DN8M2]
^ Weissbach, B. and Martini, H. "On the Chiral Archimedean Solids." Contrib. Algebra and Geometry 43, 121-133, 2002.
^ Geometry Technologies. " Snub Cube." . scienceu.com. 1999-07-28. (原始内容 存档于2000-03-08).
^ Weisstein, Eric W. (编). Snub cubic . at MathWorld --A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. (英语) .
^ The Snub Cube . eusebeia. 2016-09-09 [2016-08-22 ] . (原始内容 存档于2012-03-16).
^ Coxeter, H. S. M. , Kaleidoscopes: Selected Writings , John Wiley and Sons: 282, 1995, ISBN 9780471010036 .
^ Archimedean Solids: Snub Cube (laevo) . dmccooey.com. (原始内容 存档于2016-03-24).
^ Archimedean Solids: Snub Cube (dextro) . dmccooey.com. (原始内容 存档于2016-03-24).
^ Cundy, H. and Rollett, A. "Snub Cube. 3^4.4." §3.7.7 in Mathematical Models, 3rd ed. Stradbroke, England: Tarquin Pub., p. 107, 1989. ISBN 978-0906212202
外部連結
星號*表示該立體屬於
阿基米德立體 。
黃色和紅色為來自原像的面;藍色為截邊出現的正方形面;灰色為扭稜出現的三角形面。