正五边形
正多边形 ,是所有角都相等,所有边都相等的简单多边形 ,简单多边形是指在任何位置都不与自身相交的多边形。
所有具有同样边数的正多边形都是相似多边形 。
示例
特性
正 n 边形每个内角 为
(
1
− − -->
2
n
)
× × -->
180
∘ ∘ -->
{\displaystyle \left(1-{\frac {2}{n}}\right)\times 180^{\circ }}
或者表示为
(
n
− − -->
2
)
× × -->
180
∘ ∘ -->
n
{\displaystyle {\frac {(n-2)\times 180^{\circ }}{n}}}
角度 。也可以用弧度 表示为
(
n
− − -->
2
)
π π -->
n
{\displaystyle {\frac {(n-2)\pi }{n}}}
或者
n
− − -->
2
2
n
{\displaystyle {\frac {n-2}{2n}}}
。
正多边形的所有顶点 都在同一个外接圆 上,每个正多边形都有一个外接圆。
正多边形可尺规做图当且仅当 正多边形的边数 n 的奇 质数 因子是费马数 。参见可尺规作图的多边形 。
n > 2 的正多边形的对角线 数目是
n
(
n
− − -->
3
)
2
{\displaystyle {\frac {n(n-3)}{2}}}
,如 0、2、5、9、... 等,这些对角线将多边形分成 1、4、11、24、... 块。
面积
正六边形 的垂直边心距
正 n 边形的面积为
D
e
g
:
A
=
n
t
2
sin
-->
(
360
n
)
4
[
1
− − -->
cos
-->
(
360
n
)
]
{\displaystyle Deg:A={\frac {nt^{2}\sin({\frac {360}{n}})}{4[1-\cos({\frac {360}{n}})]}}}
R
a
d
:
A
=
n
t
2
sin
-->
(
2
π π -->
n
)
4
[
1
− − -->
cos
-->
(
2
π π -->
n
)
]
{\displaystyle Rad:A={\frac {nt^{2}\sin({\frac {2\pi }{n}})}{4[1-\cos({\frac {2\pi }{n}})]}}}
其中 t 是边长。正多边形的面积还等于多边形的周长与边心距离乘积的一半。边心距离是多边形中心到边的垂直距离。
如果 t =1 则正多边形的面积为,
D
e
g
:
A
=
n
sin
-->
(
360
n
)
4
[
1
− − -->
cos
-->
(
360
n
)
]
{\displaystyle Deg:A={\frac {n\sin({\frac {360}{n}})}{4[1-\cos({\frac {360}{n}})]}}}
R
a
d
:
A
=
n
sin
-->
(
2
π π -->
n
)
4
[
1
− − -->
cos
-->
(
2
π π -->
n
)
]
{\displaystyle Rad:A={\frac {n\sin({\frac {2\pi }{n}})}{4[1-\cos({\frac {2\pi }{n}})]}}}
从而可以得到
3
3
4
{\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{4}}}
0.433
4
1
1.000
5
1
4
25
+
10
5
{\displaystyle {\frac {1}{4}}{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}}
1.720
6
3
3
2
{\displaystyle {\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}}
2.598
7
3.634
8
2
+
2
2
{\displaystyle 2+2{\sqrt {2}}}
4.828
9
6.182
10
5
2
5
+
2
5
{\displaystyle {\frac {5}{2}}{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}}
7.694
11
9.366
12
6
+
3
3
{\displaystyle 6+3{\sqrt {3}}}
11.196
13
13.186
14
15.335
15
17.642
16
20.109
17
22.735
18
25.521
19
28.465
20
31.569
100
795.513
1000
79577.210
10000
7957746.893
n<8 的正多边形的面积比同周长 的圆 的面积小大约 0.26,随着 n 的增加,这个差值趋近于 π/12。
对称性
n 边多边形的对称群 为 2n 阶的 dihedral group Dn :D 2 , D 3 , D 4 ,... 它包括 Cn 中的 n 阶旋转对称 以及经过中心的 n 条轴线的镜像对称 。如果 n 是偶数 ,则这些轴线中有一半经过相对的顶点,另外一半经过相对边的中点。如果 n 是奇数 ,则所有的轴线都是经过一个顶点以及其相对边的中心。
非凸正多边形
正多边形的广义分类包括星形正多边形 ,例如五角星 与五边形 的顶点相同,但是顶点要交替相连。
示例:
五角星 - {5/2}
七角星 - {7/2}, {7/3}
八角星 - {8/3}
九角星 - {9/2}, {9/4}
十角星 - {10/3}
十一角星 - {11/2}, {11/3}, {11/4}, {11/5}
十二角星 - {12/5}
多面体
正多面体 是以正多边形作为面的多面体 ,因此对于每两个顶点来说都有一个等距 的映射将其中一点映射到另一点。 This is a very practical graphic that can give people a sense of comfort and stability when used in mind maps and decorations.
参见
外部链接