驴桥定理

驢橋定理（拉丁語：Pons asinorum），也稱為等腰三角形定理，是在欧几里得几何中的一個數學定理，是指等腰三角形二腰對應的二底角相等。此定理出現在欧几里得的幾何原本第一卷命題五。

有關其名稱驢橋定理的由來有二種：一種是幾何原本中的示意圖即為一座橋；另外一種較為大家接受的說法，則是指這是幾何原本中第一個對於讀者智力的測試，並且做為後續更困難命題的橋樑^[1]。幾何學是列在中世紀的四術之中，驢橋定理是在幾何原本的前面出現的較困難命題，是數學能力的一個門檻，也稱之為「笨蛋的難關」^[2]，無法理解此一命題的人可能也無法處理後面更難的命題。

無論其名稱的由來為何，驢橋定理一詞已變成了一種隱喻，暗示對能力或了解程度的關鍵測試，可以區分了解及不了解的人^[3]。

證明

欧几里得的證明

欧几里得的證明包括第二個結論，就是若三角形的二腰延伸超過底邊，則二腰延長線和底邊的夾角也會相等。欧几里得的證明中包括了繪製二腰延長線的輔助線，但當時的數學家普罗克鲁斯指出他沒有用到第二個結論，而且若在三角形內部繪輔助線，會使證明比較簡單。欧几里得的證明用到稱為SAS的三角形全等，是幾何原本中的上一個命題。^[4]

其他證明方式

在教科書（例如人教版數學教科書在八年級“軸對稱”一章）上常見的作法是作頂角A的角平分線^[5]。此證明方式比歐幾里德的簡單，但在幾何原本中命題9才是作角平分線^[6]，因此若幾何原本中在命題5就使用角平分線，會有循環論證的問題。

其證明如下：

令三角形為ABC，其中線段AB = 線段AC。
作角BAC的角平分線，和線BC交與X點。
線段AB = 線段AC，線段AX和自身等長，而且角BAX = 角CAX，因此依照SAS全等，三角形BAX和CAX全等，因此可得角B和角C相等。

勒讓德在《几何原理（英语：Éléments de géométrie）》用了一個類似的方式證明，不過令X是線段BC的中點^[7]。其證明方式類似，但是會用到SSS全等，而在歐幾里德的幾何原本未提到SSS全等。

帕普斯在约公元300年用了一个非常简短的方法证明: 等腰三角形ABC中, AB=AC, BC=CB, CA=BA, 则三角形ABC与ACB全等(SSS), 故三角形ABC 两底角相等 Q.E.D. 在约1960年，赫伯特·吉伦特（英语：Herbert Gelernter）编写的程序也得到了相同的证明。^[8]

用作隱喻的驢橋定理

十四世紀作家理查德·昂格維爾（英语：Richard Aungerville）在《書之愛（英语：Philobiblon）》中將驴桥定理比擬為沒有梯子輔助的陡峭山坡，感歎多少可能成為幾何學家的人因此而回頭^[9]。
在直言三段论中，「驢橋」作為尋找三段論中項的一個隱喻，同時有橋樑及考驗的含意在內^[9]。
經濟學家約翰·斯圖爾特·密爾認為David Ricardo的地租理論是經濟學中的驢橋定理^[10]。
驢橋也是魔術方塊中的一個特殊組態。

參考資料

^ D.E. Smith History of Mathematics (1958 Dover) p. 284
^ 吳任哲. 利用『驢橋定理』探討國中教師之數學教學. HPM通訊第四卷8,9期合刊. [2013-08-21]. （原始内容存档于2013-08-04）.
^ Pons asinorum - Definition and More from the Free Merriam. [2013-08-21]. （原始内容存档于2010-02-20）.
^ 第一卷命題五. [2016-07-02]. （原始内容存档于2016-07-10）.
^ 例如J.M. Wilson Elementary geometry (1878 Oxford) p. 20
^ 洪萬生. 驢橋定理. 科學月刊1983年4月160期. [2013-08-21]. ^{[永久失效連結]}
^ A. M. Legendre Éléments de géométrie (1876 Libr. de Firmin-Didot et Cie) p. 14
^ 侯世达. 哥德尔、艾舍尔、巴赫——集异壁之大成. 商务印书馆. 1996 p. 796
^ ^9.0 ^9.1 A. F. West & H. D. Thompson "On Dulcarnon, Elefuga And Pons Asinorum as Fanciful Names For Geometrical Propositions" The Princeton University bulletin Vol. 3 No. 4 (1891) p. 84
^ Henry Dunning Macleod The Elements of Economics (1886 D. Appleton) Vol. 2 p. 96