傳遞函數矩陣 (transfer function matrix)或傳遞矩陣 (transfer matrix)是控制系統 以及許多工程領域的名詞,是將SISO系統 中的传递函数 擴展到MIMO 系統[ 1] 。矩阵 表示系統輸出跟輸入之間的關係。在線性非時變系統中是格外有用的工具,因為其傳遞函數矩陣可以用S平面 來表示。
在一些只由被動元件 組成的系統中,可以清楚的區分哪些變數是輸入,哪些是輸出。在電子系統中的作法,將所有電壓變數組合成一組,視為是傳遞函數矩陣的輸出,再將電流變數組合成另外一組起來,視為是輸入。這樣形成的傳遞函數矩陣中,每個元素都是阻抗 。這種阻抗(及阻抗矩陣)的概念也用到其他能量的學科中,特別是力學及聲學。
許多控制系統包括不同的能量形式,其傳遞函數矩陣也會有不同的單位,一方面需要描述其中在各能量形式之間轉換的换能器 ,另一方面也要描述整體的系統。若系統中有適當能量流動的模型,需要選擇對應的變數,以方便模型的建立。
一般
有m 個輸出及n 個輸入的MIMO系統,可以用m × n 矩陣來表示,其中的每一個元素都是由一個輸入轉換到一個輸出的傳遞函數。例如針對三個輸入,二個輸出的系統,可以寫成
[
y
1
y
2
]
=
[
g
11
g
12
g
13
g
21
g
22
g
23
]
[
u
1
u
2
u
3
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}g_{11}&g_{12}&g_{13}\\g_{21}&g_{22}&g_{23}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}u_{1}\\u_{2}\\u_{3}\end{bmatrix}}}
其中un 是輸入,ym 是輸出,而gmn 是傳遞函數。若寫成矩陣運算的形式,可以寫成
Y
=
G
U
{\displaystyle \mathbf {Y} =\mathbf {G} \mathbf {U} }
其中Y 是輸出的向量,G 是傳遞函數矩陣,而U 是輸入向量。
在許多應用中,要分析的系統是线性时不变 (LTI)系統。此時,可以將傳遞函數矩陣以拉普拉斯变换 ( 連續時間 系統的例子)或Z轉換 (離散時間系統的例子)來表示。因此可以寫成
Y
(
s
)
=
G
(
s
)
U
(
s
)
{\displaystyle \mathbf {Y} (s)=\mathbf {G} (s)\mathbf {U} (s)}
其中變數及矩陣都以s 來表示,s 是由於拉氏轉換所產生,S平面的複變頻率。此條目中的例子都假設是此情形。在離散時間系統下,s 會被Z轉換的z 所代替,但在分析時沒有影響。若矩陣是真分有理矩陣(proper rational matrix),也就是每一個元素都是真分傳遞函數 時,格外有用,可以應用状态空间 的概念[ 2] 。
在系統工程中,系統傳遞函數矩陣G (s ) 會分為二部份:H (s ) 是待測的系統,C (s ) 是控制器。C (s ) 的輸入是G (s ) 的輸入,C (s ) 的輸出是H (s ) 的輸入,H (s ) 的輸出是G (s ) 的輸出[ 3]
電子系統
電子系統中的輸入變數及輸出變數往往不容易區分,可能會因環境及觀點而不同。在這種情形下,表達能量流進或流出系統位置的埠 可能會比輸入或是輸出更理想。常常會針對一個埠(p )定義二個變數:埠的電壓 (Vp )及流進的电流 。例如,雙埠網路 可以定義如下:
[
V
1
V
2
]
=
[
z
11
z
12
z
21
z
22
]
[
I
1
I
2
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}V_{1}\\V_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}z_{11}&z_{12}\\z_{21}&z_{22}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}I_{1}\\I_{2}\end{bmatrix}}}
其中zmn 是阻抗參數 ,或是z 參數。如此名稱的原因是因為其中每一個元素的單位都是阻抗 ,而且表示一個埠的電壓及另一埠電流之間的關係。z 參數不是表達雙埠網路唯一的方式。有六種基本的矩陣表示式,每一種都有適用的特定網路拓樸[ 4] 。不過若是超過二埠的多埠網路,只有二種矩陣表示式可以適合,分別是前面提到的z 參數,以及其倒數導納參數 或y 參數[ 5]
分壓器電路
為了說明埠電壓和電流。以及輸入及輸出之間的關係,考慮以下簡單的分壓電路。若只要用輸入電壓(V 1 來表示輸出電壓V 2 ,可以寫成下式
[
V
2
]
=
[
R
2
R
1
+
R
2
]
[
V
1
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}V_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\dfrac {R_{2}}{R_{1}+R_{2}}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}V_{1}\end{bmatrix}}}
可以視為是1×1傳遞函數矩陣的特例。若埠2沒有電流流出,此表示式可以正確預測埠2的電壓,但若負載電流增加,預測的電壓就會越來越不準。若希望反過來使用這個電路,用電壓驅動埠2,計算埠1的電壓,就算埠1完全沒有負載電流,結果也不正確。其預測的結果會是埠1的輸出電壓比埠2的輸入電壓要大,在這種純電阻電路下是不可能的。為了要正確的預測電路的行為,也需要考慮從埠流過的電流,這也就是傳遞函數矩陣的目的[ 6] ,其阻抗矩陣為
[
V
1
V
2
]
=
[
R
1
+
R
2
R
2
R
2
R
2
]
[
I
1
I
2
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}V_{1}\\V_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}R_{1}+R_{2}&R_{2}\\R_{2}&R_{2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}I_{1}\\I_{2}\end{bmatrix}}}
可以在各輸入及輸出條件下,完全描述其行為[ 7] 。
在微波 頻率下,很難使用用電流及電壓組成的傳遞矩陣。電壓很難直接量測,電流也不可能。而量測技術中需要的開路及短路也無法實現。若是用波导管 實現,電路的電壓及電流是沒有意義的。因此傳遞函數矩陣會用其他的變數。例如使用傳送進入的功率 以及反射的功率,這個用微波頻率分布元件电路 的传输线模型 技術即可求得。這類參數中,最廣為人知的是散射參數 ,也稱為是s參數[ 8] 。
力學系統及其他系統
橋的控制室用的齒輪組。齒輪組是雙埠系統
電路上阻抗的概念,可以透過力學-電子類比 轉換力學阻抗 為,應用在力學系統或是其他系統上,因此阻抗參數以及其他雙埠網路的參數可以用在其他力學領域中。在此作法中,效果變數(effort variable)視為是電壓,而流變數(flow variable)視為是電流。在只考慮平移 的力學系統中,效果變數和流變數分別是力 及速度 [ 9] 。
用雙埠網路表示機械元件的行為有其好處,因為元件可能會反向運作,其效果和負載在輸入端或是輸出端有關。例如齒輪組常常會用其齒輪比表示,是SISO轉換函數。但齒輪組輸出軸 又用來驅動輸入軸,就需要MIMO分析。在此例中,效果變數是力矩 T ,而流變數(flow variable)是角速度 ω 。其z參數的傳遞函數矩陣為
[
T
1
T
2
]
=
[
z
11
z
12
z
21
z
22
]
[
ω ω -->
1
ω ω -->
2
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}T_{1}\\T_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}z_{11}&z_{12}\\z_{21}&z_{22}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\omega _{1}\\\omega _{2}\end{bmatrix}}}
不過,z參數可能不太適合描述齒輪組。齒輪組是变压器 的類比,而h參數適合描述变压器,因為其中直接用到匝數比(類似齒輪組的齒輪比)[ 10] ,其h參數的傳遞函數矩陣是
[
T
1
ω ω -->
2
]
=
[
h
11
h
12
h
21
h
22
]
[
ω ω -->
1
T
2
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}T_{1}\\\omega _{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}h_{11}&h_{12}\\h_{21}&h_{22}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\omega _{1}\\T_{2}\end{bmatrix}}}
其中
h 21 是輸出無負載時的速度比
h 12 是輸入軸卡住時,反向的力軸比,等於理想齒輪的前饋速度比
h 11 是輸出軸沒有負載時,的輸入旋轉力學阻抗
h 22 是輸入軸卡住時,輸出軸的旋轉力學导纳 。
若是沒有摩擦力的理想齒輪,可以簡化成下式
[
T
1
ω ω -->
2
]
=
[
0
N
N
0
]
[
ω ω -->
1
T
2
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}T_{1}\\\omega _{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&N\\N&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\omega _{1}\\T_{2}\end{bmatrix}}}
其中N 是齒輪比 [ 11]
換流器及致動器
打開的機械濾波器,在兩頭都有機械-電子的換流器
有些系統中利用了不同形式的能量(例如電能、機械能),並且在這些能量之間進行轉換。傳遞函數矩陣需要能透過埠來處理這些不同能量領域中的成份。在机器人学 及机械电子学 中,會用到执行器 。一般會包括一個换能器 ,將電子領域中的控制系統信號轉換為力學領域中的運動。控制系統也需要传感器 偵測運動,並且轉換為電子領域的信號,才能透過回授系統控制其運動。其他系統中的感測器可能是將其他領域中(例如光學、聲音、熱、流體流動或化學)的信號轉換為電子信號,例如機械濾波器 會需要換流器,將電子訊號轉換為機械的訊號,再將機械的訊號轉換為電子的訊號。
在电动机械学 中,致動器一般會由電子的控制器來驅動,需要換流器的輸入是電子領域,其輸出為力學領域。可以簡單的用SISO轉移函數來處理,不過可能無法考慮到負載電流的影響。因此比較精準的表示法會用二輸入,二輸出的MIMO傳遞函數矩陣,型式如下:
[
V
F
]
=
[
z
11
z
12
z
21
z
22
]
[
I
v
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}V\\F\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}z_{11}&z_{12}\\z_{21}&z_{22}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}I\\v\end{bmatrix}}}
其中F 是致動器的施力,v 是致動器的速度。矩陣的元素會有不同的單位;z 11 是電子的阻抗,z 22 是機械的阻抗,另外二個阻抗是跨导 ,有不同的單位[ 12]
聲學系統
声学 系統是流體動力學 中的子領域,兩者關注的輸入及輸出變數是压强 P ,以及體積流率 Q (若是探討聲音在固體中的傳播,可能就要考慮力學系統中的變數,力及速度)。像在排氣系統 中的消音器 ,就可以用聲學系統中的二埠系統來表示。其轉換矩陣表示如下:
[
P
2
Q
2
]
=
[
T
11
T
12
T
21
T
22
]
[
P
1
Q
1
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}P_{2}\\Q_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}T_{11}&T_{12}\\T_{21}&T_{22}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}P_{1}\\Q_{1}\end{bmatrix}}}
此處的Tmn 是傳輸參數(transmission parameters),稱為ABCD參數。也可以用z參數來表示此系統,不過傳輸參數在數學的計算有其方便之處,若一個網路的輸出連接另一個網路的輸入時,只要利用矩陣乘法就可以得到新的轉換矩陣[ 13] 。
不同的變數轉換方式
氣動齒條齒輪致動器,可以控制水管中的閥門。致動器是兩埠元件,可從氣動系統轉換為機械系統。致動器與閥門構成一個三埠系統。閥門的氣動控制埠和水管的流體流量輸入埠和輸出埠
若系統中包括了不同的能量系統,在考慮不同系統的類比時需要格外留意。選擇的方式會和分析希望得到的結果有關。若希望正確的為整個系統中的能量流來建模,則系統中的二個變數相乘後需要是功率(功率共軛變數),這兩個變數需要可以映射到另一個系統的功率共軛變數。一系統中的功率共軛變數不唯一,因此需要在整個系統中用類似的映射方式[ 14] 。
一種常見映射方式(此條目例子中所用的方式)是將各能量系統中的效果變數(會產生動作的變數)互相映射,再將各能量系統中的流變數(表示實際動作的變數)。每一對效果變數及流變數都是功率共軛變數,此系統稱為阻抗類比 ,因此效果變數和流變數的比例類似電子電路中的阻抗[ 15] 。
除了阻抗類比外,還有另外兩種功率共軛變數的類比方式。流動類比 將機械系統中的力類似為電路中的電流(若是阻抗類比,會類比為電壓)。此一類比方式常用在機械濾波器的設計中,也常用在音響電子學中。此映射的好處是維持各系統的網路拓樸,但無法將阻抗類比。Trent類比將功率共軛變數分為across變數及through變數,依其作用是會在元件兩端作用,還是會穿過元件作用而定。Trent類比大部份的結果都和流動類比相同,但流體力學(及聲學)領域不同。Trent類比會將流體力學中的壓強類比為電壓(類似阻抗類比的作法),而機械系統中的力,因為會「穿過」元件作用,仍會類比為電流[ 9] 。
有些類比不會用功率共軛變數。例如在感測器中,正確的類比能量不是主要目的(感測器的能量多半很小)。選擇方便量測的變數(可能就是感測器要量測的物理量)可能更重要。例如在熱阻 類比中,熱阻會類比為電阻,因此溫度差和熱能就變成電壓及電流。而溫度差的功率共軛不是熱能,而是熵 流率,是無法直接量測的物理量。在磁系統中有類似的情形,磁阻 會類比為電阻,因此磁通量 會類比為電流,而不是將單位時間磁通量類比為電流[ 16] 。
歷史
线性代数 方程的矩陣表示式已使用一段時間。儒勒·昂利·庞加莱 在1907年首次用二個和電機變數(電壓和電流)有關方程來表示機械變數(力和速度)。Wegel在1921年首次用類似電機阻抗的方式來說明力學阻抗[ 12] 。
第一個用傳遞函數矩陣來表示MIMO控制系統,是在1950年代由Boksenbom及Hood所提出,但只在他們在為美國國家航空諮詢委員會 研究燃氣渦輪發動機時所提出。[ 17] 。Cruickshank在1955年提出較嚴謹的基礎,但還沒有完整的通用性。1956年的Kavanagh是第一個完整處理通用性的人,建立了系統和控制的矩陣關係,也提供控制系統可行性的判斷準則,可以讓受控系統有符合預期的行為[ 18] 。
相關條目
參考資料
^ Chen, p. 1038
^
Levine, p. 481
^ Kavanagh, p. 350
^
Chen, pp. 54–55Iyer, p. 240 Bakshi & Bakshi, p. 420
^ Choma, p. 197
^ Yang & Lee, pp. 37–38
^ Bessai, pp. 4–5
^
Nguyen, p. 271
^ 9.0 9.1 Busch-Vishniac, pp. 19–20
^ Olsen, pp. 239–240
^
Busch-Vishniac, p. 20Koenig & Blackwell, p. 170
^ 12.0 12.1 Pierce, p. 200
^ Munjal, p. 81
^ Busch-Vishniac, p. 18
^ Busch-Vishniac, p. 20
^ Busch-Vishniac, pp. 18, 20
^
Kavanagh, p. 350
^ Kavanagh, pp. 349–350
文獻
Bessai, Horst, MIMO Signals and Systems , Springer, 2006 ISBN 038727457X .
Bakshi, A.V.; Bakshi, U.A., Network Theory , Technical Publications, 2008 ISBN 8184314027 .
Boksenbom, Aaron S.; Hood, Richard, "General algebraic method applied to control analysis of complex engine types" (页面存档备份 ,存于互联网档案馆 ), National Advisory Committee for Aeronautics Report 980, 1950.
Busch-Vishniac, Ilene J., Electromechanical Sensors and Actuators , Springer, 1999 ISBN 038798495X .
Chen, Wai Kai, The Electrical Engineering Handbook , Academic Press, 2004 ISBN 0080477488 .
Choma, John, Electrical Networks: Theory and Analysis , Wiley, 1985 ISBN 0471085286 .
Cruickshank, A. J. O., "Matrix formulation of control system equations", The Matrix and Tensor Quarterly , vol. 5, no. 3, p. 76, 1955.
Iyer, T. S. K. V., Circuit Theory , Tata McGraw-Hill Education, 1985 ISBN 0074516817 .
Kavanagh, R. J., "The application of matrix methods to multi-variable control systems" , Journal of the Franklin Institute , vol. 262, iss. 5, pp. 349–367, November 1956.
Koenig, Herman Edward; Blackwell, William A., Electromechanical System Theory , McGraw-Hill, 1961 OCLC 564134
Levine, William S., The Control Handbook , CRC Press, 1996 ISBN 0849385709 .
Nguyen, Cam, Radio-Frequency Integrated-Circuit Engineering , Wiley, 2015 ISBN 1118936485 .
Olsen A., "Characterization of Transformers by h-Paraameters" (页面存档备份 ,存于互联网档案馆 ), IEEE Transactions on Circuit Theory , vol. 13, iss. 2, pp. 239–240, June 1966.
Pierce, Allan D. Acoustics: an Introduction to its Physical Principles and Applications , Acoustical Society of America, 1989 ISBN 0883186128 .
Poincaré, H., "Etude du récepteur téléphonique" , Eclairage Electrique , vol. 50, pp. 221–372, 1907.
Wegel, R. L., "Theory of magneto-mechanical systems as applied to telephone receivers and similar structures" (页面存档备份 ,存于互联网档案馆 ), Journal of the American Institute of Electrical Engineers , vol. 40, pp. 791–802, 1921.
Yang, Won Y.; Lee, Seung C., Circuit Systems with MATLAB and PSpice , Wiley 2008, ISBN 0470822406 .