Ukuran luar

Dalam matematika terutama teori ukuran, ukuran luar secara formalnya adalah fungsi yang didefinisikan pada semua himpunan bagian dari suatu himpunan tertentu dan dipetakan ke bilangan real dipeluas yang memenuhi beberapa syarat tertentu. Diperkenalkan oleh Constantin Carathéodory pada tahun 1914. Konsep ukuran luar memberi kemudahan untuk membangun ukuran

Suatu ukuran luar, ${\displaystyle \mu ^{*}\,}$, secara formalnya adalah fungsi yang didefinisikan pada himpunan kuasa, ${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$ pada himpunan ${\displaystyle X\,}$ yang dipetakan menuju ${\displaystyle [0,\infty ]}$ (lihat bilangan real diperluas), dan memenuhi sifat-sifat:

• Himpunan kosong berukuran nol:

${\displaystyle \mu ^{*}(\varnothing )=0;}$

• Kemononotonan; jika ${\displaystyle A\subset B\subset X}$ maka

${\displaystyle \mu ^{*}(A)\leq \mu ^{*}(B)}$

• Subaditifitas: jika ${\displaystyle A_{1}\,}$, ${\displaystyle A_{2}\,}$, ${\displaystyle A_{3}\,}$, ... suatu barisan terhitung dari himpunan bagian ${\displaystyle X\,}$, maka

${\displaystyle \mu ^{*}\left(\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}\right)\leq \sum _{i=1}^{\infty }\mu ^{*}(A_{i}).}$

• Halmos, Paul R. (2013-12-19). Measure Theory (dalam bahasa Inggris). Springer. ISBN 978-1-4684-9440-2.
• Papadimitrakis, Mihalis (2004). Notes on Measure Theory (PDF). Heraklion: University of Crete. Pemeliharaan CS1: Status URL (link)