Unit imajiner

terletak di bidang kompleks. Bilangan riil terletak pada sumbu horizontal, dan bilangan imajiner terletak pada sumbu vertikal.

Unit imajiner atau bilangan imajiner unit () adalah solusi untuk persamaan kuadrat 2 . Meskipun tidak ada bilangan riil dengan sifat ini, dapat digunakan untuk memperluas bilangan riil menjadi bilangan kompleks, bilangan yang menggunakan operasi penambahan dan perkalian; contoh sederhananya adalah .

Bilangan imajiner adalah konsep matematika yang penting, sebab bilangan ini memperluas sistem bilangan riil ke sistem bilangan kompleks , dan pada sistem bilangan tersebut setidaknya terdapat satu buah akar fungsi untuk setiap polinomial yang tak konstan. Istilah "imajiner" digunakan karena tidak ada bilangan riil yang memiliki kuadrat negatif.

Terdapat dua buah akar kuadrat kompleks dari −1, yaitu dan , sama seperti terdapat dua buah akar kuadrat kompleks dari setiap bilangan riil selain nol, yang memiliki satu buah akar kuadrat berganda.

Bilangan kompleks yang juga terkadang digunakan untuk menggantikan , sebab dapat bermakna ambigu. Sebagai contoh, dalam ilmu teknik listrik dan teknik kendali, unit imajiner biasanya dilambangkan dengan alih-alih , karena biasanya digunakan untuk menyatakan arus listrik.[1]

Definisi

Nilai siklus perpangkatan dari i
:
(daerah yang berwarna biru
menandakan pola berulang)
(daerah yang berwarna biru
menandakan pola berulang)

Bilangan imajiner didefinisikan hanya dengan menggunakan sifat bahwa akar kuadratnya adalah :

Oleh karena itu, dan sama-sama merupakan akar kuadrat dari .

Operasi bilangan real dapat diperluas ke bilangan imajiner dan bilangan kompleks, dengan memperlakukan sebagai kuantitas yang tidak diketahui saat memanipulasi ekspresi (dan menggunakan definisi untuk menggantikan dengan −1). Perpangkatan dari yang lebih tinggi dapat digantikan dengan , , , atau :

Hal ini dapat diperlakukan cara yang serupa untuk sebarang bilangan real tak nol:

Sebagai bilangan kompleks, dapat dinyatakan dalam sistem koordinat Cartesius berdimensi dua sebagai , yang terdiri dari nol buah komponen real dan satu buah komponen imajiner. Dalam bentuk polar, dapat dinyatakan sebagai (atau cukup tulis ), dengan nilai mutlak dari 1 dan argumen dari radian (dan juga ditambahkan dengan sebarang kelipatan dari ). Dalam bilangan kompleks, atau disebut bidang Argand, yang merupakan pandangan bidang Cartesius yang khusus, adalah titik yang terletak dengan jarak 1 satuan dari titik asal di sepanjang sumbu imajiner.

Sifat

Akar kuadrat dan akar kubik

Dua buah akar kuadrat dari dalam bidang kompleks
Tiga buah akar kubik dari dalam bidang kompleks

Sama seperti semua bilangan kompleks tak nol, mempunyai dua buah akar kuadrat, yaitu [a]

Dengan menguadratkan kedua ekspresi tersebut, akan menghasilkan:

Dengan mengakarkuadratkan kedua ruas, akan didapatkan

Tiga buah akar kubik dari adalah:[3]

Sama seperti semua akar dari 1, semua akar dari adalah titik sudut poligon beraturan yang terletak di dalam lingkaran satuan di bidang kompleks.

Catatan

  1. ^ Cara mencari akar kuadrat dari adalah dengan menyelesaikan persamaan dengan x dan y adalah parameter real yang akan dicari; persamaan tersebut sama saja dengan menulis Karena bagian riil dan imajiner selalu terpisah, maka suku-suku di persamaan dapat disusun menjadi Dengan menyamakan koefisien dan memisahkan bagian riil dan imajiner, maka didapatkan sistem dari dua persamaan:
    Dengan mensubstitusi ke persamaan pertama, maka didapatkan
    Karena bilangan riil, maka persamaan ini mempunyai dua buah solusi riil untuk . yaitu dan . Dengan mensubstitusikan hasil tersebut ke persamaan , maka didapatkan hasil yang sama untuk . Dengan demikian, akar kuadrat dari adalah dan .[2]

Rujukan

  1. ^ Boas, Mary L. (2006). Mathematical Methods in the Physical SciencesAkses gratis dibatasi (uji coba), biasanya perlu berlangganan (edisi ke-3). New York [u.a.]: Wiley. hlm. 49. ISBN 0-471-19826-9. 
  2. ^ "What is the square root of ?". University of Toronto Mathematics Network. Diakses tanggal 26 Maret 2007. 
  3. ^ Zill, Dennis G.; Shanahan, Patrick D. (2003). A first course in complex analysis with applications. Boston: Jones and Bartlett. hlm. 24–25. ISBN 0-7637-1437-2. OCLC 50495529. 
Baca informasi lainnya:

PrapaskahQuadragesimaKrusifiks dan patung-patung di gereja diselubungi kain ungu, warna liturgis masa PrapaskahJenisKekristenanPerayaan Penghilangan Gloria dan Haleluya pada pelbagai kidung Penutupan gambar dan ikon kudus KegiatanBerpuasaBerdoaBerdermaBerpantangMulaiPada Rabu Abu (Barat)Pada Senin Bersih (Timur)BerakhirPada Kamis Putih (Gereja Katolik Roma)Pada Sabtu Suci (Gereja-gereja Lutheran, Moravian, Anglikan, dan Ortodoks Barat)Pada hari Jumat sebelum Sabtu Lazarus (Kekristenan Timur)Tang…

Artikel ini sebatang kara, artinya tidak ada artikel lain yang memiliki pranala balik ke halaman ini.Bantulah menambah pranala ke artikel ini dari artikel yang berhubungan atau coba peralatan pencari pranala.Tag ini diberikan pada Maret 2016. SMAN Unggul Negeri Harapan Persada ABDYA merupakan salah satu sekolah negeri yang berada di Kabupaten Aceh Barat Daya, Provinsi Aceh, berdiri sejak 17 Juli 2003 Memiliki total 81 ruang kelas dengan jurusan/program IPA yang jadwal pelajaran pagi-sore hingga …

PollockPoster film PollockSutradaraEd HarrisProduserEd HarrisFred BernerJon KilikJames Francis TrezzaDitulis olehBarbara TurnerSusan EmshwillerBerdasarkanJackson Pollock: An American Sagaoleh Steven Naifeh dan Gregory White SmithPemeranEd HarrisMarcia Gay HardenPenata musikJeff BealSinematograferLisa RinzlerPenyuntingKathryn HimoffPerusahaanproduksiBrant-AllenFred Berner FilmsPollock FilmsZeke ProductionsDistributorSony Pictures ClassicsTanggal rilis 6 September 2000 (2000-09-06) …

NFL team season 1987 Pittsburgh Steelers seasonOwnerArt RooneyGeneral managerDick HaleyHead coachChuck NollHome fieldThree Rivers StadiumResultsRecord8–7Division place3rd AFC CentralPlayoff finishDid not qualifyPro BowlersC Mike WebsterAP All-ProsNoneTeam MVPMike MerriweatherTeam ROYDelton Hall ← 1986 Steelers seasons 1988 → The 1987 Pittsburgh Steelers season was the franchise's 55th season as a professional sports franchise and as a member of the National Football …

Air Terjun Hogenakkal Air Terjun Hogenakkal atau Air Terjun Hogenakal (Tamil: ஒகேனக்கல் அருவி, bahasa Kannada: ಹೊಗೆನಕಲ್ ಜಲಪಾತ) adalah air terjun di India Selatan di Sungai Kaveri. Air terjun ini terletak di distrik Dharmapuri di negara bagian Tamil Nadu.[1][2][3][4][5][6][7][8][9] Air terjun ini terletak sekitar 180 km dari Bangalore dan 46 km dari Dharmapur…

Kejuaraan Dunia U-17 FIFA 1993(Jepang) 1993 FIFA U-17世界選手権Logo Kejuaraan Dunia U-17 FIFA 1993Informasi turnamenTuan rumahJepangJadwalpenyelenggaraan21 Agustus – 4 September 1993Jumlahtim peserta16 (dari 6 konfederasi)Tempatpenyelenggaraan6 (di 6 kota)Hasil turnamenJuara Nigeria (gelar ke-2)Tempat kedua GhanaTempat ketiga ChiliTempat keempat PolandiaStatistik turnamenJumlahpertandingan32Jumlah gol107 (3,34 per pertandingan)Jumlahpenonton233.004 …

Patrick Kluivert Informasi pribadiNama lengkap Patrick Stephan KluivertTanggal lahir 1 Juli 1976 (umur 47)Tempat lahir Amsterdam, BelandaTinggi 1,93 m (6 ft 4 in)Posisi bermain penyerangInformasi klubKlub saat ini Free AgentKarier junior AjaxKarier senior*Tahun Tim Tampil (Gol) 1994–19971997–19981998–20042004–20052005–20062006–20072007–2008 AjaxAC MilanFC BarcelonaNewcastle UnitedValenciaPSVLille 070 (39)027 0(6)182 (90)025 0(6)010 0(1)016 0(3)011 0(4) Tim nasio…

Piala Konfederasi FIFA 2001대한민국/일본 2001년 (Bahasa Korea) 2001 韓国/日本 (Bahasa Jepang)Logo resmi Piala Konfederasi 2001Informasi turnamenTuan rumahKorea SelatanJepangJadwalpenyelenggaraan30 Mei – 10 JuniJumlahtim peserta8 (dari 6 konfederasi)Tempatpenyelenggaraan6 (di 6 kota)Hasil turnamenJuara Prancis (gelar ke-1)Tempat kedua JepangTempat ketiga AustraliaTempat keempat BrasilStatistik turnamenJumlahpertandingan16Jumlahpenonton557.191 (34.82…

Double PattyPoster filmNama lainHangul더블패티 Hanja双肉饼 Alih Aksara yang DisempurnakanDeobeulpaetiMcCune–ReischauerTŏbŭlp'aet'i SutradaraBaek Seung-hwanProduserBaek Seung-hwanDitulis olehBaek Seung-hwanPemeranIreneShin Seung-hoPenata musikLee Sang-hoonSinematograferShin Hyeon-gyuPenyuntingKim Seong-hoonPerusahaanproduksiKT CorporationTanggal rilis 17 Februari 2021 (2021-02-17) Durasi107 menitNegaraKorea SelatanBahasaKorea Double Patty (Korea: 더블패티, romanize…

May. F.P.Cavaljé Frans Petrus Cavaljé (1829-1901[1]) adalah tokoh militer Belanda. Ia adalah komandan Batalyon Infanteri III yang terkenal. Batalyon yang beranggotakan serdadu Belanda dan Ambon tersebut mengadakan 3 kali penyerangan ke Masjid Raya Aceh (April 1873 dan Januari 1874) semasa Perang Aceh Pertama dan Kedua. Dalam Perang Aceh I, pasukan Batalyon Infanteri III berkekuatan 25 perwira, 239 prajurit Eropa dan 368 prajurit Ambon. Dalam pada itu, 13 perwira, 91 prajurit Eropa, dan…

Artikel ini tidak memiliki referensi atau sumber tepercaya sehingga isinya tidak bisa dipastikan. Tolong bantu perbaiki artikel ini dengan menambahkan referensi yang layak. Tulisan tanpa sumber dapat dipertanyakan dan dihapus sewaktu-waktu.Cari sumber: Kecerahan Buddhisme – berita · surat kabar · buku · cendekiawan · JSTORartikel ini perlu dirapikan agar memenuhi standar Wikipedia. Tidak ada alasan yang diberikan. Silakan kembangkan artikel ini semam…

Jocara Klasifikasi ilmiah Kerajaan: Animalia Filum: Arthropoda Kelas: Insecta Ordo: Lepidoptera Famili: Pyralidae Genus: JocaraWalker, 1863[1] Sinonim Deuterollyta Lederer, 1863[2] Toripalpus Grote, 1877 Winona Hulst, 1888 Oedomia Dognin, 1906 Ajacania Schaus, 1925 Ajocara Schaus, 1925 Jocara adalah genus dari Pyralidae. Hal ini dijelaskan oleh Lederer, pada tahun 1863. Spesies Jocara abachuma Jocara agathoa Jocara aidana Jocara albiferalis Jocara albimedialis Jocara amazona (Sch…

Gunung Weisshorn Istilah garis salju terdiri dari dua pengertian. Pengertian pertama disebut garis salju iklim, yaitu batas antara permukaan yang dilapisi oleh salju dengan permukaan yang bebas salju. Garis salju iklim dapat berubah-ubah tergantung pada musim. Sementara itu, pengertian yang kedua adalah garis salju permanen, yaitu ketinggian tertentu yang saljunya tidak pernah cair pada musim panas atau musim kemarau. Lihat pula Garis beku Bacaan lanjut Charlesworth J.K. (1957). The quaternary e…

Gerbang Wringin Lawang di Trowulan, salah satu candi bentar tertua di Indonesia, peninggalan Majapahit. Candi bentar (bahasa Jawa Kuno: bĕntar, terbelah) adalah sebutan bagi bangunan gapura berbentuk dua bangunan serupa dan sebangun tetapi merupakan simetri cermin yang membatasi sisi kiri dan kanan pintu masuk. Candi bentar tidak memiliki atap penghubung di bagian atas, sehingga kedua sisinya terpisah sempurna, dan hanya terhubung di bagian bawah oleh anak tangga. Bangunan ini lazim disebut…

Alphabet enfants sages 5-2 Ejaan adalah penggambaran bunyi bahasa (kata, kalimat, dan lain sebagainya) dalam tulisan (huruf-huruf) serta penggunaan tanda baca.[1] Penggunaan huruf, penulisan kata, dan penggunaan tanda baca tidak boleh diabaikan karena akan mengakibatkan perbedaan makna. Oleh karena itu dalam penulisan kata ataupun kalimat perlu memperhatikan kaidah-kaidah dan aturan baku yang berlaku, seperti PUEBI (Pedoman Umum Ejaan Yang Disempurnakan). Ejaan biasanya memiliki tiga asp…

Jared PadaleckiPadalecki di Comic-Con International 2008LahirJared Tristan PadaleckiPekerjaanAktorTahun aktifsejak 1999Suami/istriGenevieve Cortese (m. 2010–kini) Jared Tristan Padalecki (lahir 19 Juli 1982) merupakan seorang aktor berkebangsaan Amerika Serikat. Dia besar di Texas dan menjadi terkenal pada awal tahun 2000-an setelah tampil di serial televisi seperti Gilmore Girls dan juga di film-film Hollywood seperti New York Minute dan House of Wax. Padalecki memerankan Sam Winchester …

Metadata formats for display devices This article has multiple issues. Please help improve it or discuss these issues on the talk page. (Learn how and when to remove these template messages) This article needs additional citations for verification. Please help improve this article by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed.Find sources: Extended Display Identification Data – news · newspapers · books · scholar …

Eurema tominia Klasifikasi ilmiah Kerajaan: Animalia Filum: Arthropoda Kelas: Insekta Ordo: Lepidoptera Famili: Pieridae Genus: Eurema Spesies: Eurema tominia Eurema tominia adalah spesies kupu-kupu asli Indonesia dan Malaysia. Berbeda dengan spesies Eurema pada umumnya, sebagian besar Eurema tominia terbang rendah dekat dengan tanah di daerah terbuka dan hanya terkadang terbang tinggi di pohon. Spesies Eurema tominia dewasa lebih sering tinggal di bagian bawah daun.[1] Habitat Spesies i…

Cibotiaceae Cibotium schiedei asal Meksiko Klasifikasi ilmiah Kerajaan: Plantae Divisi: Pteridophyta Kelas: Pteridopsida Ordo: Cyatheales Famili: Cibotiaceae Genera Cibotium Cibotiaceae merupakan salah satu suku anggota tumbuhan paku (Pteridophyta) yang tergolong sebagai bangsa paku-paku pohon (Cyatheales). Dengan satu marga anggota (Cibotium), suku ini mencakup sebelas jenis anggota: empat di Hawaii, lima di Asia Tenggara, dan dua di Amerika Tropik. Salah satu anggotanya adalah penawar jambi (C…

Alice PaulAlice Paul pada tahun 1901Lahir(1885-01-11)11 Januari 1885Moorestown, New JerseyMeninggal9 Juli 1977(1977-07-09) (umur 92)Moorestown Township, New JerseyAlmamaterUniversitas Birmingham, Universitas Pennsylvania, Kampus Swarthmore, Universitas AmerikaPekerjaanSuffragisOrang tuaWilliam Mickle Paul I (1850-1902) Tacie ParryKerabatWillam, Helen, dan Parry Alice Stokes Paul (11 Januari 1885 – 9 Juli 1977) adalah seorang feminis dan aktivis hak asasi wanita Amerika. Sosok Alice Paul s…

Kembali kehalaman sebelumnya