Notasi untuk akar kuadrat (pokok) xSebagai contoh, √25 = 5, sejak 25 = 5 ⋅ 5, atau 52 (5 kuadrat).
Di dalam matematika, akar kuadrat atau akar persegi dari bilangan x sama dengan bilangan r sedemikian sehingga r2 = x, atau, di dalam perkataan lain, bilangan r yang bila dikuadratkan (hasil kali dengan bilangan itu sendiri) sama dengan x. Setiap bilangan real tak-negatif, katakanlah x memiliki akar kuadrat tak-negatif yang tunggal, disebut akar kuadrat utama, yang dilambangkan oleh akar ke-n sebagai . Akar kuadrat dapat juga dituliskan dengan notasi eksponen, sebagai x1/2. Misalnya, akar kuadrat utama dari 9 adalah 3, dituliskan dengan , karena 32 = 3 × 3 = 9 dan 3 tak-negatif. Bagaimanapun, akar kuadrat utama dari sebuah bilangan positif hanya satu dari dua akar kuadratnya.
Setiap bilangan positif x memiliki dua akar kuadrat. Salah satunya adalah , yakni yang bernilai positif, sementara yang lainnya adalah , yakni yang bernilai negatif. Kedua-dua akar kuadrat itu dilambangkan dengan . Akar kuadrat dari bilangan negatif dibahas di dalam kerangka kajian bilangan kompleks. Lebih umum lagi, akar kuadrat dapat dipandang dari beraneka konteks di mana notasi "penguadratan" beberapa objek matematika didefinisi (termasuk aljabar matriks, gelanggang endomorfisma, dll).
Akar kuadrat dari bilangan bulat yang bukan merupakan kuadrat sempurna adalah selalu bilangan irasional (disebut juga bilangan takrasional: bilangan yang tidak dapat dinyatakan sebagai hasil bagi dari dua bilangan bulat. Misalnya, tidak dapat dituliskan secara tepat oleh m/n, di mana n dan m adalah bilangan bulat. Meskipun demikian, ia adalah nilai yang pasti dari panjang diagonal sebuah persegi yang panjang sisinya sama dengan 1. Kejadian ini telah dikenal sejak zaman kuno, dengan ditemukannya bahwa adalah irasional oleh Hippasus, murid dari Pythagoras. (Lihat Akar kuadrat dari 2 untuk membuktikan ketakrasionalan bilangan ini dan irasional kuadrat untuk membuktikan semua bilangan asli yang bukan kuadrat)
Radikan adalah bilangan atau penyajian matematika di bawah tanda akar. Di dalam penyajian , ab + 2 adalah radikan.
Fungsi akar kuadrat utama (biasanya hanya disebut sebagai "fungsi akar kuadrat") adalah fungsi yang memetakan himpunan bilangan real taknegatif R+ ∪ {0} kepada himpunan itu sendiri, dan, seperti semua fungsi, selalu memiliki nilai balikan yang tunggal. Fungsi akar kuadrat juga memetakan bilangan rasional ke dalam bilangan aljabar (adihimpunan bilangan rasional); adalah rasional jika dan hanya jika x adalah bilangan rasional yang dapat dinyatakan sebagai hasil bagi dari dua kuadrat sempurna. Di dalam istilah geometri, fungsi akar kuadrat memetakan luas dari persegi kepada panjang sisinya.
Fungsi akar kuadrat adalah kontinu untuk setiap bilangan taknegatif x dan terdiferensialkan untuk setiap bilangan positif x. Turunannya diberikan oleh
Deret Taylor dari √1 + x di dekat x = 0 konvergen ke | x | < 1 dan diberikan oleh
Akar kuadrat dari bilangan bulat positif
Bilangan positif memiliki dua akar kuadrat, satu positif, dan satu negatif, yang berlawanan satu sama lain. Ketika berbicara tentang akar kuadrat dari bilangan bulat positif, biasanya yang dimaksud adalah akar kuadrat positif.
Akar kuadrat dari bilangan bulat positif adalah hasil kali dari akar faktor prima, karena akar kuadrat dari suatu perkalian adalah hasil kali dari akar kuadrat faktor. Maka hanya akar dari bilangan prima yang memiliki pangkat ganjil dalam faktorisasi yang diperlukan. Lebih tepatnya, akar kuadrat dari faktorisasi prima adalah
Sebagai ekspansi desimal
Akar kuadrat dari kuadrat sempurna s (misalnya, 0, 1, 4, 9, 16) adalah bilangan bulat. Dalam semua kasus lainnya, akar kuadrat dari bilangan bulat positif adalah bilangan irasional s, dan karenanya memiliki non-desimal berulang dalam representasi desimal. Perkiraan desimal dari akar kuadrat dari beberapa bilangan asli pertama diberikan dalam tabel berikut.
Seperti sebelumnya, akar kuadrat dari kuadrat sempurna (misalnya, 1, 4, 9, 16) adalah bilangan bulat. Dalam semua kasus lainnya, akar kuadrat dari bilangan bulat positif adalah bilangan irasional s, dan oleh karena itu memiliki digit yang tidak berulang dalam sistem notasi posisi standar.
Salah satu hasil paling menarik dari studi bilangan irasional s karena pecahan kontinu diperoleh dengan Joseph Louis Lagrange ca 1780. Lagrange menemukan bahwa representasi dari akar kuadrat dari bilangan bulat positif bukan kuadrat sebagai pecahan lanjutan adalah berkala. Artinya, pola penyebut parsial tertentu berulang tanpa batas waktu dalam pecahan lanjutan. Dalam arti tertentu, akar kuadrat ini adalah bilangan irasional yang paling sederhana, karena mereka dapat direpresentasikan dengan pola berulang sederhana dari bilangan bulat.
= [1; 2, 2, ...]
= [1; 1, 2, 1, 2, ...]
= [2]
= [2; 4, 4, ...]
= [2; 2, 4, 2, 4, ...]
= [2; 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 4, ...]
= [2; 1, 4, 1, 4, ...]
= [3]
= [3; 6, 6, ...]
= [3; 3, 6, 3, 6, ...]
= [3; 2, 6, 2, 6, ...]
= [3; 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, ...]
= [3; 1, 2, 1, 6, 1, 2, 1, 6, ...]
= [3; 1, 6, 1, 6, ...]
= [4]
= [4; 8, 8, ...]
= [4; 4, 8, 4, 8, ...]
= [4; 2, 1, 3, 1, 2, 8, 2, 1, 3, 1, 2, 8, ...]
= [4; 2, 8, 2, 8, ...]
Notasi kurung siku yang digunakan di atas adalah singkatan dari pecahan lanjutan. Ditulis dalam bentuk aljabar yang lebih sugestif, pecahan lanjutan sederhana untuk akar kuadrat dari 11, [3; 3, 6, 3, 6, ...], terlihat seperti ini:
di mana pola dua digit {3, 6} berulang lagi dan lagi pada penyebut parsial. Karena 11 = 32 + 2, di atas juga identik dengan pecahan lanjutan umum:
Akar kuadrat dari bilangan negatif dan kompleks
Daun pertama dari akar kuadrat kompleks
Daun kedua dari akar kuadrat kompleks
Menggunakan permukaan Riemann dari akar kuadrat, ditunjukkan bagaimana kedua daun tersebut saling cocok
Kuadrat dari bilangan positif atau negatif adalah positif, dan kuadrat 0 adalah 0. Oleh karena itu, tidak ada bilangan negatif yang dapat memiliki akar kuadrat nyata. Namun, dimungkinkan untuk bekerja dengan himpunan bilangan yang lebih inklusif, yang disebut bilangan kompleks s, yang memang berisi solusi untuk akar kuadrat dari bilangan negatif. Ini dilakukan dengan memasukkan angka baru, dilambangkan dengan i (terkadang j , terutama dalam konteks listrik di mana " i " secara tradisional mewakili arus listrik) dan disebut unit imajiner, yang didefinisikan sedemikian rupa i2 = −1. Dengan menggunakan notasi ini, kita dapat menganggap i sebagai akar kuadrat dari −1, tetapi kita juga punya (−i)2 = i2 = −1 dan jadi - i juga merupakan akar kuadrat dari −1. Berdasarkan konvensi, akar kuadrat utama dari −1 adalah i , atau lebih umum lagi, jika x adalah bilangan nonnegatif apa pun, akar kuadrat utama dari x adalah
Ruas kanan (dan juga negatifnya) memang merupakan akar kuadrat dari x , maka
Untuk setiap bilangan kompleks bukan nol z terdapat tepat dua bilangan w sedemikian rupa w2 = z: akar kuadrat utama dari z (didefinisikan di bawah), dan negatifnya.
Akar kuadrat utama dari sebuah bilangan kompleks
Templat:Visualisation complex number roots
Untuk menemukan definisi akar kuadrat yang memungkinkan kita memilih satu nilai secara konsisten, yang disebut nilai pokok, kita mulai dengan mengamati bahwa bilangan kompleks apa pun x + iy dapat dilihat sebagai titik di bidang, (x, y), diekspresikan menggunakan koordinat kartesius. Titik yang sama dapat diinterpretasikan ulang menggunakan koordinat polar sebagai pasangan ), di mana r ≥ 0 adalah jarak titik dari titik asal, dan adalah sudut yang dibuat oleh garis dari titik asal ke titik dengan sumbu positif nyata ( x ). Dalam analisis kompleks, lokasi titik ini ditulis secara konvensional Jika
kemudian kita tentukan akar kuadrat utama dari z sebagai berikut:
Fungsi akar kuadrat utama didefinisikan dengan menggunakan sumbu riil nonpositif sebagai potongan cabang. Fungsi akar kuadrat utama adalah holomorfik di mana-mana kecuali pada himpunan bilangan real non-positif (pada real negatif ketat itu bahkan kontinu). Deret Taylor di atas untuk tetap berlaku untuk bilangan kompleks x dengan |x| < 1.
Ketika bilangan tersebut diekspresikan menggunakan koordinat Kartesius, rumus berikut dapat digunakan untuk akar kuadrat utama:[1][2]
di mana tanda dari bagian imajiner dari akar dianggap sama dengan tanda bagian imajiner dari bilangan asli, atau positif jika nol. Bagian riil dari nilai pokok selalu tidak negatif.
Misalnya, akar kuadrat utama dari ± i diberikan oleh:
Catatan
Berikut ini, kompleks z dan w dapat diekspresikan sebagai:
di mana dan .
Karena sifat terputus-putus dari fungsi akar kuadrat dalam bidang kompleks, hukum berikut ini adalah tidak benar secara umum.
(contoh berlawanan untuk akar kuadrat utama: z = −1 dan w = −1) Kesetaraan ini hanya berlaku jika
(counterexample untuk akar kuadrat utama: w = 1 dan z = −1) Persamaan ini hanya berlaku jika
(contoh berlawanan untuk akar kuadrat utama: z = −1) Persamaan ini hanya valid jika
Masalah serupa muncul dengan fungsi kompleks lainnya dengan pemotongan cabang, misalnya, logaritma kompleks dan relasi logz + logw = log(zw) or log(z*) = log(z)* yang tidak benar secara umum.
Salah mengasumsikan salah satu dari undang-undang ini mendasari beberapa "bukti" yang salah, misalnya yang berikut menunjukkan itu −1 = 1:
Persamaan ketiga tidak dapat dibenarkan (lihat bukti tidak sah). Ini dapat dibuat untuk menahan dengan mengubah arti dari √ sehingga ini tidak lagi mewakili akar kuadrat utama (lihat di atas) tetapi memilih cabang untuk akar kuadrat yang mengandung Sisi kiri menjadi salah satunya
jika cabang menyertakan + i atau
jika cabang termasuk - i , sedangkan sisi kanan menjadi
di mana persamaan terakhir, adalah konsekuensi dari pemilihan cabang dalam definisi ulang √.
Akar ke-n dan akar polinomial
Definisi akar kuadrat dari sebagai angka sedemikian rupa sehingga telah digeneralisasikan dengan cara berikut.
Akar pangkat tiga dari adalah angka sedemikian rupa sehingga ; dilambangkan
Jika n adalah bilangan bulat yang lebih besar dari dua, n akar ke dari adalah angka seperti ; dilambangkan
Mengingat polinomial p , sebuah akar dari p adalah bilangan y seperti yang p(y) = 0. Misalnya, akar ke n dari x adalah akar dari polinomial (pada y)
Teorema Abel–Ruffini menyatakan bahwa, secara umum, akar suatu polinomial berderajat lima atau lebih tinggi tidak dapat diekspresikan dalam istilah akar ke n.
Sebagian besar mesin hitung memiliki tombol akar kuadrat. Lembar kerja komputer dan perangkat lunak lainnya juga sering kali digunakan untuk menghitung akar kuadrat. Program perangkat lunak komputer biasanya menerapkan rutin (perulangan) yang baik untuk menghitung fungsi eksponensial dan logaritma natural atau logaritma, dan kemudian menghitung akar kuadrat dari x menggunakan identitas
atau
Identitas yang sama dieksploitasi ketika menghitung akar kuadrat dengan tabel logaritma atau slide rule.
Metode iteratif penghitungan akar kuadrat yang paling biasa dilakukan oleh tangan dikenal sebagai "Metode Babilonia" atau "Metode Heron" dinamai demikian untuk menghargai filsuf Yunani Kuno Heron dari Iskandariyah yang pertama memaparkan metode ini.[3] Metode ini melibatkan algoritme sederhana, yang menghasilkan suatu bilangan yang semakin mendekati nilai akar kuadrat sebenarnya tiap kali perulangan dilakukan. Untuk menentukan r, akar kuadrat dari bilangan real x:
Mulakan dengan nilai pemulai positif sembarang r (semakin dekat ke akar kuadrat x, semakin baik).
Ganti r dengan rata-rata antara r dan x/r, yaitu: (Adalah cukup untuk mengambil nilai hampiran dari rata-rata itu untuk memastikan konvergensi.)
Ulangi langkah ke-2 hingga r dan x/r cukup dekat dengan nilai yang diharapkan.
Kompleksitas waktu untuk menghitung akar kuadrat dengan n angka ketelitian setara dengan perkalian dua bilangan yang memiliki n-angka.
Grand Vizier of the Ottoman Empire from 1839 to 1840 Hüsrev Pasha redirects here. For the grand vizier from 1628 to 1631, see Gazi Hüsrev Pasha. In this Ottoman Turkish style name, the given name is Hüsrev Mehmed, the title is Pasha, and there is no family name.You can help expand this article with text translated from the corresponding article in Turkish. (November 2023) Click [show] for important translation instructions. Machine translation, like DeepL or Google Translate, is …
Cessna Citation II adalah yang pertama dari seri jet Model 550 Citation, sayap rendah (low wing), jet perusahaan ringan yang dibangun oleh Cessna. Sebuah perkembangan langsung dari Citation I, Citation II menyebabkan perkembangan selanjutnya dari Citation II/SP, S550 Citation S/II, dan Citation Bravo. Citation II ini juga digunakan oleh Angkatan Laut Amerika Serikat di bawah penunjukan T-47A untuk pelatihan sistem radar. Referensi Hoyle, Craig. World Air Forces Directory. Flight International, V…
Ini adalah nama Tionghoa; marganya adalah Kuo. Amber KuoLahir19 Februari 1986 (umur 38)Taipei, TaiwanKebangsaanTaiwanAlmamaterUniversitas Taipei NasionalPekerjaan Pemeran Penyanyi Tahun aktif2007–kini Amber Kuo Hanzi tradisional: 郭采潔 Hanzi sederhana: 郭采洁 Alih aksara Mandarin - Hanyu Pinyin: Guō Cǎijié Karier musikNama lainGuo Cai-jieGenreMandopopInstrumen Piano Gitar LabelWarner Music Taiwan (2007–kini) Amber Kuo pada 2011. Amber Kuo Tsai-chieh (Hanzi: 郭采潔;…
Artikel ini tidak memiliki referensi atau sumber tepercaya sehingga isinya tidak bisa dipastikan. Tolong bantu perbaiki artikel ini dengan menambahkan referensi yang layak. Tulisan tanpa sumber dapat dipertanyakan dan dihapus sewaktu-waktu.Cari sumber: Aiful – berita · surat kabar · buku · cendekiawan · JSTOR AIFUL Corporation (ア イ フ ル 株式会社, Aifuru Kabushiki-gaisha ) ( TYO : 8515 Diarsipkan 2021-04-11 di Wayback Machine. ) adalah sala…
Artikel ini sebatang kara, artinya tidak ada artikel lain yang memiliki pranala balik ke halaman ini.Bantulah menambah pranala ke artikel ini dari artikel yang berhubungan atau coba peralatan pencari pranala.Tag ini diberikan pada Desember 2023. Daftar keuskupan di Oseania adalah sebuah daftar yang memuat dan menjabarkan pembagian dan penjelasan terhadap suatu wilayah administratif yang dipimpin oleh seorang uskup ataupun ordinaris. Dalam Gereja Katolik Roma, pengelompokan beberapa keuskupan yan…
العلاقات المنغولية النيوزيلندية منغوليا نيوزيلندا منغوليا نيوزيلندا تعديل مصدري - تعديل العلاقات المنغولية النيوزيلندية هي العلاقات الثنائية التي تجمع بين منغوليا ونيوزيلندا.[1][2][3][4][5] مقارنة بين البلدين هذه مقارنة عامة ومرجعية للدو…
العلاقات الإكوادورية السعودية الإكوادور السعودية الإكوادور السعودية تعديل مصدري - تعديل العلاقات الإكوادورية السعودية هي العلاقات الثنائية التي تجمع بين الإكوادور والسعودية.[1][2][3][4][5] مقارنة بين البلدين هذه مقارنة عامة ومرجعية للدول…
4th-century BC Greek sculptor LysipposHead of Heracles wearing a kausia; Roman marble copy (135–150 CE) of Greek original (330–310 BC) attributed to Lysippos. Prado Museum, Madrid, Spain.Bornc. 390 BCSicyon, GreeceDiedc. 300 BC (aged around 90)Sicyon, GreeceOccupationsculptorRelativesLysistratus (brother) Lysippos (/laɪˈsɪpɒs/; Greek: Λύσιππος)[1] was a Greek sculptor of the 4th century BC. Together with Scopas and Praxiteles, he is considered one of the three…
1967 live album by Ella Fitzgerald Ella and Duke at the Cote D'AzurLive album by Ella Fitzgerald and Duke EllingtonReleased1967RecordedJune 26-July 29, 1966GenreJazzLength497:02LabelVerveProducerNorman GranzElla Fitzgerald and Duke Ellington chronology Whisper Not(1967) Ella and Duke at the Cote D'Azur(1967) Brighten the Corner(1967) Duke Ellington chronology In the Uncommon Market(1963-66) Ella and Duke at the Cote D' Azur(1966) The Far East Suite(1966) Professional ratingsReview scoresSour…
إرنست لورنس (بالإنجليزية: Ernest Orlando Lawrence) معلومات شخصية اسم الولادة (بالإنجليزية: Ernest Orlando Lawrence) الميلاد 8 أغسطس 1901 [1][2][3][4] كانتون[5][6][7] الوفاة 27 أغسطس 1958 (57 سنة) [8][9][10][11][1][2][3] بالو ألتو[12][13 …
Paris-Roubaix 1999GénéralitésCourse 97e Paris-RoubaixCompétition Coupe du monde de cyclisme sur route 1999Date 11 avril 1999Distance 273 kmPays traversé(s) FranceLieu de départ CompiègneLieu d'arrivée Roubaix (vélodrome André-Pétrieux)Vitesse moyenne 40,519 km/hRésultatsVainqueur Andrea TafiDeuxième Wilfried PeetersTroisième Tom SteelsParis-Roubaix 1998Paris-Roubaix 2000modifier - modifier le code - modifier Wikidata La 97e édition de la course cycliste Paris-Roubai…
Artikel ini membutuhkan rujukan tambahan agar kualitasnya dapat dipastikan. Mohon bantu kami mengembangkan artikel ini dengan cara menambahkan rujukan ke sumber tepercaya. Pernyataan tak bersumber bisa saja dipertentangkan dan dihapus.Cari sumber: Candi Ngetos – berita · surat kabar · buku · cendekiawan · JSTOR (Februari 2023) Candi Ngetos adalah Candi Hindu yang berada di Ngetos, Nganjuk, Jawa Timur. Candi ini didirikan pada abad ke-15 pada zaman kerajaa…
Town in Aleppo, SyriaKhanasir خناصرTownMinistry of Local Administration, Khanasir. Note old parts in the facade.KhanasirLocation in SyriaCoordinates: 35°47′0″N 37°29′50″E / 35.78333°N 37.49722°E / 35.78333; 37.49722Country SyriaGovernorateAleppoDistrictAl-SafiraSubdistrictKhanasirPopulation (2004 census) • Total2,397Time zoneUTC+2 (EET) • Summer (DST)UTC+3 (EEST)Area codeCountry code: 963 Khanasir (Arabic: خناصر / AL…
Cet article est une ébauche concernant l’endurance automobile et le sport automobile. Vous pouvez partager vos connaissances en l’améliorant (comment ?) selon les recommandations des projets correspondants. Cet article concerne le producteur de châssis Daytona Prototype. Pour le constructeur britannique fondé en 1890, voir Riley (automobile). Pour l'écurie d'IRL, voir Riley & Scott. La Riley-Lexus victorieuse en 2007 La Mooncraft Shiden 2006 Riley Technologies est un constr…
La Dichiarazione di Indipendenza La Dichiarazione d'Indipendenza del Texas fu la formale dichiarazione di indipendenza della Repubblica del Texas dal Messico durante la rivoluzione del Texas. Fu adottata da un'assemblea costituente riunitasi a Washington-on-the-Brazos il 2 marzo 1836 e firmata solo il giorno successivo poiché erano stati trovati errori nel testo. Altri progetti Altri progetti Wikimedia Commons Wikimedia Commons contiene immagini o altri file su Dichiarazione d'indipendenza del …
2010 studio album by Sade Soldier of LoveStudio album by SadeReleased5 February 2010 (2010-02-05)Recorded2009Studio Real World (Box, England) El Cortijo (San Pedro de Alcántara, Spain) GenrePop-soulLength41:58LabelEpicProducer Sade Mike Pela Sade chronology Lovers Live(2002) Soldier of Love(2010) The Ultimate Collection(2011) Singles from Soldier of Love Soldier of LoveReleased: 11 January 2010 BabyfatherReleased: 13 April 2010 The Moon and the SkyReleased: 24 August 2010 Sol…
Rabbinic literatureTalmud Readers by Adolf Behrman Talmudic literature Tannaitic Mishnah Tosefta Amoraic (Gemara) Jerusalem Talmud Babylonian Talmud Later Minor Tractates Halakhic Midrash Exodus Mekhilta of Rabbi Ishmael Mekhilta of Rabbi Shimon bar Yochai Leviticus Sifra (Torat Kohanim) Numbers and Deuteronomy Sifre Sifrei Zutta on Numbers (Mekhilta le-Sefer Devarim) Aggadic Midrash Tannaitic Seder Olam Rabbah Alphabet of Rabbi Akiva Baraita of the Forty-nine Rules Baraita on the Thirty-two Rul…