Loi de Nakagami
Densité de probabilité
Fonction de répartition
Paramètres
m
≥ ≥ -->
1
/
2
{\displaystyle m\geq 1/2}
, paramètre de forme
ω ω -->
>
0
{\displaystyle \omega >0}
, propagation
Support
x
>
0
{\displaystyle x>0\!}
Densité de probabilité
2
m
m
Γ Γ -->
(
m
)
ω ω -->
m
x
2
m
− − -->
1
exp
-->
(
− − -->
m
ω ω -->
x
2
)
{\displaystyle {\frac {2m^{m}}{\Gamma (m)\omega ^{m}}}x^{2m-1}\exp \left(-{\frac {m}{\omega }}x^{2}\right)}
Fonction de répartition
γ γ -->
(
m
,
m
ω ω -->
x
2
)
Γ Γ -->
(
m
)
{\displaystyle {\frac {\gamma \left(m,{\frac {m}{\omega }}x^{2}\right)}{\Gamma (m)}}}
Espérance
Γ Γ -->
(
m
+
1
2
)
Γ Γ -->
(
m
)
(
ω ω -->
m
)
1
/
2
{\displaystyle {\frac {\Gamma (m+{\frac {1}{2}})}{\Gamma (m)}}\left({\frac {\omega }{m}}\right)^{1/2}}
Médiane
pas d'expression formelle
Mode
2
2
(
(
2
m
− − -->
1
)
ω ω -->
m
)
1
/
2
{\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}\left({\frac {(2m-1)\omega }{m}}\right)^{1/2}}
Variance
ω ω -->
(
1
− − -->
1
m
(
Γ Γ -->
(
m
+
1
2
)
Γ Γ -->
(
m
)
)
2
)
{\displaystyle \omega \left(1-{\frac {1}{m}}\left({\frac {\Gamma (m+{\frac {1}{2}})}{\Gamma (m)}}\right)^{2}\right)}
modifier
En théorie des probabilités et en statistique , la loi de Nakagami ou loi de m -Nakagami est une loi de probabilité continue à deux paramètres et de support
[
0
,
∞ ∞ -->
[
{\displaystyle [0,\infty [}
. Le paramètre
m
>
0
{\displaystyle m>0}
est un paramètre de forme , le second paramètre
ω ω -->
>
0
{\displaystyle \omega >0}
permet de contrôler la propagation. Cette loi est liée à la loi gamma , son nom est issu du statisticien Minoru Nakagami .
Caractérisations
La densité de probabilité de la loi de Nakagami est donnée par[ 1] :
f
(
x
;
m
,
ω ω -->
)
=
{
2
m
m
Γ Γ -->
(
m
)
ω ω -->
m
x
2
m
− − -->
1
exp
-->
(
− − -->
m
ω ω -->
x
2
)
pour
x
>
0
0
sinon.
{\displaystyle f(x;\,m,\omega )={\begin{cases}\displaystyle {\frac {2m^{m}}{\Gamma (m)\omega ^{m}}}x^{2m-1}\exp \left(-{\frac {m}{\omega }}x^{2}\right)&{\text{ pour }}x>0\\0&{\text{ sinon.}}\end{cases}}}
où
Γ Γ -->
{\displaystyle \Gamma }
est la fonction Gamma .
Sa fonction de répartition est :
F
(
x
;
m
,
ω ω -->
)
=
{
P
(
m
,
m
ω ω -->
x
2
)
pour
x
>
0
0
sinon.
{\displaystyle F(x;\,m,\omega )={\begin{cases}\displaystyle P\left(m,{\frac {m}{\omega }}x^{2}\right)&{\text{ pour }}x>0\\0&{\text{ sinon.}}\end{cases}}}
où P est la fonction gamma incomplète (régularisée).
Estimation des paramètres
Les paramètres
m
{\displaystyle m}
et
ω ω -->
{\displaystyle \omega }
sont[ 2] :
m
=
E
2
[
X
2
]
V
a
r
[
X
2
]
,
{\displaystyle m={\frac {\mathbb {E} ^{2}\left[X^{2}\right]}{Var\left[X^{2}\right]}},}
et
ω ω -->
=
E
[
X
2
]
.
{\displaystyle \omega =\mathbb {E} \left[X^{2}\right].}
Simulation
La loi Nakagami est liée à la loi Gamma . En particulier, pour une variable aléatoire Y de loi Gamma,
Y
∼ ∼ -->
Gamma
(
k
,
θ θ -->
)
{\displaystyle Y\,\sim {\textrm {Gamma}}(k,\theta )}
, il est possible d'obtenir une variable aléatoire X de loi de Nakagami,
X
∼ ∼ -->
Nakagami
(
μ μ -->
,
ω ω -->
)
{\displaystyle X\,\sim {\textrm {Nakagami}}(\mu ,\omega )}
, en posant
k
=
m
{\displaystyle k=m}
,
θ θ -->
=
ω ω -->
/
m
{\displaystyle \theta =\omega /m}
, et en considérant la racine carrée de Y :
X
=
Y
{\displaystyle X={\sqrt {Y}}\,}
.
Historique et applications
L'utilisation de la loi de Nakagami remonte à 1960[ 3] , c'est-à-dire que c'est une loi relativement nouvelle. Elle est utilisée pour modéliser l’atténuation des réseaux sans fils au travers de plusieurs chemins[ 4] .
Références
↑ (en) Matthias Pätzold , Mobile Radio Channels , Wiley , 2012 , 2e éd. , 583 p. (ISBN 978-0-470-51747-5 , lire en ligne ) , p. 30
↑ R. Kolar, R. Jirik, J. Jan (2004) "Estimator Comparison of the Nakagami-m Parameter and Its Application in Echocardiography" , Radioengineering , 13 (1), 8–12
↑ M. Nakagami. "The m-Distribution, a general formula of intensity of rapid fading". In William C. Hoffman, editor, Statistical Methods in Radio Wave Propagation: Proceedings of a Symposium held June 18-20, 1958 , pp 3-36. Permagon Press, 1960.
↑ J. D. Parsons, The Mobile Radio Propagation Channel. New York: Wiley, 1992.