En théorie des probabilités et en statistique , la loi de Voigt est la loi de probabilité continue dépendant de paramètres σ et γ dont la densité est donnée par la fonction de Voigt . Cette densité peut s'exprimer par la formule :
V
(
x
;
σ σ -->
,
γ γ -->
)
=
1
σ σ -->
2
π π -->
Re
[
w
(
x
+
i
γ γ -->
σ σ -->
2
)
]
{\displaystyle V(x;\sigma ,\gamma )={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}{\textrm {Re}}\left[w\left({\frac {x+\mathrm {i} \gamma }{\sigma {\sqrt {2}}}}\right)\right]}
où Re[w (•)] est la partie réelle de la fonction d'erreur complexe ou fonction de Faddeeva .
Une variable aléatoire suivant la loi de Voigt sera notée :
X
∼ ∼ -->
V
o
i
g
t
(
σ σ -->
,
γ γ -->
)
{\displaystyle X\sim \mathrm {Voigt} (\sigma ,\gamma )}
.
Fonction de répartition
La fonction de répartition de la loi de Voigt est donnée par :
F
(
x
0
;
μ μ -->
,
σ σ -->
)
=
∫ ∫ -->
− − -->
∞ ∞ -->
x
0
R
e
(
w
(
z
)
)
σ σ -->
2
π π -->
d
x
=
R
e
(
1
π π -->
∫ ∫ -->
z
(
− − -->
∞ ∞ -->
)
z
(
x
0
)
w
(
z
)
d
z
)
{\displaystyle F(x_{0};\mu ,\sigma )=\int _{-\infty }^{x_{0}}{\frac {\mathrm {Re} (w(z))}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\,\mathrm {d} x=\mathrm {Re} \left({\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int _{z(-\infty )}^{z(x_{0})}w(z)\,\mathrm {d} z\right)}
où z est donnée par
z
=
x
+
i
γ γ -->
σ σ -->
2
{\displaystyle z={\frac {x+\mathrm {i} \gamma }{\sigma {\sqrt {2}}}}}
. Par le calcul de l'intégrale généralisée de la fonction d'erreur complexe grâce à la fonction d'erreur réelle :
1
π π -->
∫ ∫ -->
w
(
z
)
d
z
=
1
π π -->
∫ ∫ -->
e
− − -->
z
2
[
1
− − -->
e
r
f
(
− − -->
i
z
)
]
d
z
,
{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int w(z)\,\mathrm {d} z={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int \mathrm {e} ^{-z^{2}}\left[1-\mathrm {erf} (-\mathrm {i} z)\right]\,\mathrm {d} z,}
la fonction de répartition s'écrit alors sous la forme :
F
(
x
;
μ μ -->
,
σ σ -->
)
=
R
e
[
1
2
+
e
r
f
(
z
)
2
+
i
z
2
π π -->
2
F
2
(
1
,
1
;
3
2
,
2
;
− − -->
z
2
)
]
{\displaystyle F(x;\mu ,\sigma )=\mathrm {Re} \left[{\frac {1}{2}}+{\frac {\mathrm {erf} (z)}{2}}+{\frac {\mathrm {i} z^{2}}{\pi }}\,_{2}F_{2}\left(1,1;{\frac {3}{2}},2;-z^{2}\right)\right]}
où
2
F
2
(
)
{\displaystyle \,_{2}F_{2}()}
est la fonction hypergéométrique .
Fonction caractéristique
La fonction lorentzienne ne possède pas de moments, ainsi la loi de Voigt non plus. Cependant elle possède une fonction caractéristique donnée par la formule :
φ φ -->
f
(
t
;
σ σ -->
,
γ γ -->
)
=
E
(
e
i
x
t
)
=
e
− − -->
σ σ -->
2
t
2
/
2
− − -->
γ γ -->
|
t
|
.
{\displaystyle \varphi _{f}(t;\sigma ,\gamma )=\mathbb {E} (\mathrm {e} ^{\mathrm {i} xt})=\mathrm {e} ^{-\sigma ^{2}t^{2}/2-\gamma |t|}.}
Loi non centrée
La loi de Voigt est la convolée d'une loi normale et d'une loi de Cauchy . Si la loi gaussienne est centrée en μG et la loi de Cauchy en μL , la convolée sera centrée en μG + μL et la fonction caractéristique sera alors donnée par la formule :
φ φ -->
f
(
t
;
σ σ -->
,
γ γ -->
,
μ μ -->
G
,
μ μ -->
L
)
=
e
i
(
μ μ -->
G
+
μ μ -->
L
)
t
− − -->
σ σ -->
2
t
2
/
2
− − -->
γ γ -->
|
t
|
.
{\displaystyle \varphi _{f}(t;\sigma ,\gamma ,\mu _{\mathrm {G} },\mu _{\mathrm {L} })=\mathrm {e} ^{\mathrm {i} (\mu _{\mathrm {G} }+\mu _{\mathrm {L} })t-\sigma ^{2}t^{2}/2-\gamma |t|}.}
Le mode et la médiane valent alors μG + μL .
Liens avec d'autres lois
Si
X
∼ ∼ -->
V
o
i
g
t
(
σ σ -->
,
0
)
{\displaystyle X\sim \mathrm {Voigt} (\sigma ,0)}
, alors
X
∼ ∼ -->
N
(
0
,
σ σ -->
)
{\displaystyle X\sim {\mathcal {N}}(0,\sigma )}
,
Si
X
∼ ∼ -->
V
o
i
g
t
(
0
,
γ γ -->
)
{\displaystyle X\sim \mathrm {Voigt} (0,\gamma )}
, alors
X
∼ ∼ -->
C
a
u
c
h
y
(
0
,
γ γ -->
)
{\displaystyle X\sim \mathrm {Cauchy} (0,\gamma )}
,
Si
Y
∼ ∼ -->
N
(
0
,
σ σ -->
)
{\displaystyle Y\sim {\mathcal {N}}(0,\sigma )}
et
Z
∼ ∼ -->
C
a
u
c
h
y
(
0
,
γ γ -->
)
{\displaystyle Z\sim \mathrm {Cauchy} (0,\gamma )}
indépendantes, alors
X
=
Y
+
Z
∼ ∼ -->
V
o
i
g
t
(
σ σ -->
,
γ γ -->
)
{\displaystyle X=Y+Z\sim \mathrm {Voigt} (\sigma ,\gamma )}
.
Références
Cet article est partiellement ou en totalité issu de l'article intitulé « Fonction de Voigt » (voir la liste des auteurs ) .
(en) Jong-Sen Lee, « Monte Carlo Simulation of Voigt Distribution in Photon Diffusion Problems », Astrophysical Journal , vol. 187, 1974 , p. 159-162 (lire en ligne )
Articles connexes