In carriera è stata campionessa mondiale juniores e allieve, nonché campionessa europea under 23. Ha vinto 6 titoli italiani assoluti, 15 nazionali giovanili e detiene 6 record italiani giovanili, di cui 3 outdoor ed altrettanti indoor nelle 3 principali categorie (promesse, juniores ed allieve).
Ha dimostrato un talento molto precoce nel salto in alto, in quanto già dalla categoria Esordienti (6-11 anni) saltava 1,37 m (a 9 anni)[1] e 1,55 m (a 11)[2]. Da cadetta, nel biennio 2007-2008, ha fatto doppietta di titoli italiani ai campionati nazionali di categoria; in generale, ha conseguito titoli nazionali in tutte le categorie (dalle seniores alle cadette) ed ha vinto il titolo italiano sia indoor che outdoor in tutte e quattro le categorie in cui si disputano anche i nazionali indoor, ovvero assoluti, promesse, juniores e allieve. Ha stabilito il record italiano sia indoor che outdoor delle tre categorie giovanili di cui si disputano i campionati al coperto (promesse, juniores e allieve); il primato della categoria promesse indoor da lei detenuto (2,00 m) è la seconda migliore prestazione italiana di sempre al coperto, dietro solo il primato nazionale di 2,04 m realizzato da Antonietta Di Martino.
2009-2010: la storica tripletta italiana in rassegne internazionali giovanili
Nel 2009 è passata all'Atletica Brugnera Friulintagli; doppio titolo italiano annuale allieve nel 2009-2010, in cui si è aggiudicata sia gli indoor che gli outdoor.
Nel 2010 al suo esordio agli assoluti vince la medaglia di bronzo.
Il 15 luglio 2012 si laurea campionessa ai Mondiali juniores di Barcellona, in Spagna, con la misura di 1,91 m, provando successivamente ma senza successo la misura di 1,95 m che le avrebbe valso la qualificazione olimpica.
Assente agli assoluti di Bressanone 2012.
2013-2015: gli “storici” 2 metri, i titoli italiani, i titoli agli Europei under 23 e l'argento agli Europei indoor
Titolo italiano promesse indoor 2013: il 16 febbraio 2013 si aggiudica il titolo di campionessa italiana indoor di salto in alto, grazie alla misura di 1,95 m (si è infatti ritirata alla misura di 2,01 m, che sarebbe stato il suo primato personale).
Il 13 luglio 2013 vince a Tampere la medaglia d'oro degli Europei under 23, stabilendo con la misura di 1,98 m il suo nuovo record personale outdoor. Lo stesso mese, a Milano, si laurea campionessa italiana agli assoluti saltando 1,90 m.
Infine il 17 agosto del 2013 è stata settima ai Mondiali russi di Mosca.
Iscritta agli assoluti indoor 2014, non ha gareggiato, così come agli italiani promesse; ha vinto il titolo italiano promesse indoor e quello assoluto all'aperto.
Nona classificata agli Europei di Zurigo, in Svizzera.
Assente agli italiani promesse indoor 2015; vittoriosa del titolo italiano agli assoluti al coperto.
Ha vinto il titolo italiano promesse e poi ha partecipato all'Europeo per nazioni tenutosi a Čeboksary (in Russia), terminando all'8º posto; a Tallinn (Estonia), in occasione degli Europei under 23, ha vinto la medaglia d'oro giovanile continentale, bissando il titolo di due anni prima a Tampere.
Nel luglio del 2015 pur essendo iscritta agli assoluti di Torino, non ha potuto gareggiare a causa di un piccolo fastidio al piede di stacco[6]. Ad agosto ha dovuto rinunciare ai Mondiali cinesi di Pechino per un problema al tendine d'Achille destro[7].
2016: Gli Europei di Amsterdam, le Olimpiadi di Rio e il cambio di allenatore
Il 2016 è stato per Alessia Trost un anno importante vista la concomitanza di Europei ed Olimpiadi.
Agli Europei di Amsterdam (Paesi Bassi) si è qualificata per la finale saltando 1,89 m, insieme alla sua compagna di allenamenti Desiree Rossit. In finale ha ripetuto la stessa misura, piazzandosi al 6º posto a pari merito con la Rossit e l'ucraina Oksana Okuneva.
Un mese dopo è tornata in pedana per le Olimpiadi di Rio de Janeiro. In Brasile, dopo una qualificazione conquistata facilmente con la misura di 1,94 m, si è classificata 5ª in finale con 1,93 m. La gara è stata vinta dalla veterana Ruth Beitia con 1,97 m.
Dopo questa gara è arrivata la sua decisione di cambiare guida tecnica[8], lasciando il suo storico allenatore Gianfranco Chessa per trasferirsi ad Ancona ed allenarsi così con Marco Tamberi, padre del campione del mondo indoor ed europeo all’aperto, medaglia d'oro a Tokyo 2021 nonché primatista italiano, Gianmarco Tamberi.
2017-2018: l'amarezza a Londra ed il sogno ai Mondiali indoor
Assente agli europei indoor di Belgrado, viene convocata per i Mondiali di Londra 2017, dove non riesce a staccare il pass per la finale, e chiude con la misura di 1,89 m.