1. A partire dalla stagione 1995-96 le statistiche di club si riferiscono ai soli campionati maggiori professionistici di Lega Il simbolo → indica un trasferimento in prestito
Horne entrò a far parte dei Glasgow Warriors nel 2015, ma al primo anno la franchigia scozzese lo cedette in prestito al London Scottish, squadra impegnata nell'RFU Championship, per fare esperienza.[2] Reduce da tutta la trafila delle nazionali giovanili scozzesi, nel dicembre 2016 iniziò a giocare nella Scozia VII partecipando al Dubai Sevens.
Durante la stagione 2017-18 le sue presenze in campo con il club cominciarono a diventare più consistenti e nel giugno 2018 arrivò la prima convocazione nella Scozia, in occasione di un test match contro gli Stati Uniti disputato a Houston e perso 30-29. Nel successivo test match contro l'Argentina, facente parte del tour delle Americhe, segnò due mete nella partita che terminò 44-15 in favore degli scozzesi. Fu inserito nella formazione che disputò la Coppa del Mondo di rugby 2019 e durante la competizione, nel corso della fase a gironi, segnò una meta contro la Georgia e realizzò una tripletta contro la Russia.