Böðvarsson ha cominciato la carriera con la maglia del Selfoss. Ha dato il proprio contributo per la promozione del campionato 2009, potendo così debuttare nella massima divisione islandese in data 11 maggio 2010, nella sconfitta casalinga per 1-3 contro il Fylkir: nello stesso incontro, ha realizzato il primo gol nella Úrvalsdeild.[1] A fine anno, la squadra è retrocessa. Böðvarsson è passato però in prestito ai danesi dell'Aarhus, prima di fare ritorno al Selfoss, aiutando i compagni a raggiungere una nuova promozione.
Viking
Il 30 novembre 2012, i norvegesi del Viking hanno annunciato l'accordo con il Selfoss per il trasferimento del giocatore, che sarebbe stato soggetto al superamento delle visite mediche.[2] Il 7 dicembre, superati i test medici, il trasferimento è diventato ufficiale.[3] Il 17 luglio 2015, i tedeschi del Kaiserslautern hanno annunciato d'aver ingaggiato il giocatore a partire dal 1º gennaio 2016, con l'islandese che si è legato al nuovo club per i successivi due anni e mezzo.[4]
Nazionale
Böðvarsson ha debuttato per l'Islanda il 14 novembre 2012, subentrando a Matthías Vilhjálmsson nella vittoria per 0-2 contro Andorra.[5] Viene convocato per gli Europei 2016 in Francia. Mette a segno il suo primo gol all'Europeo il 22 giugno 2016 nella partita vinta dalla sua nazionale per 2-1 contro l'Austria, siglando il gol del momentaneo 1-0.[6]