Turvey inizia la sua carriera nei karting all'età di otto anni[1] e ci corre fino al 2002, dopo aver vinto il Junior Yamaha National Championship.
Nel 2003 fa il suo esordio nelle monoposto correndo in Formula Renault UK Winter Series, mentre dal 2004 al 2006 corre in Formula BMW britannica, con l'apice di un secondo posto in classifica generale nell'ultima stagione.
Negli anni 2013, 2014 e 2015 partecipa alla 24 Ore di Le Mans con il team Jota Sport, giungendo rispettivamente 7º, 1º e 2º nella categoria LMP2.
Super GT
Nel 2015 e 2016 partecipa al campionato Super GT ottenendo, guidando una Honda, due sesti posti come migliori risultati e classificandosi 12º nel campionato piloti della classe GT500.
Formula 1
A partire dalla stagione 2012 viene scelto come collaudatore della McLaren.[4]
Nel 2015 guida nel primo giorno di test in-season a Barcellona, al volante della McLaren.
Formula E
2014-2015
Nel 2015 viene chiamato dal Team NEXTEV TCR per disputare le ultime due gare del campionato di Formula E, e riesce ad andare a punti in entrambe le gare disputate a Londra.
Viene confermato dal team per la stagione successiva[5], che inizia con un sesto posto. Nelle due gare successive non riesce a prendere punti prima a causa di un problema all'acceleratore e successivamente per via di un problema ai box. A Buenos Aires riesce a ottenere nuovamente punti grazie a un 9º posto. Per il resto della stagione la vettura non gli consentirà di ottenere ulteriori punti eccezion fatta per l'ultima gara in cui arriva decimo.
2016-2017
Viene confermato dalla scuderia anche la stagione seguente.[6] Questa lo vede giungere a punti nelle prime due gare, grazie a una vettura più competitiva. In Messico ottiene la sua prima pole position, grazie alla penalizzazione di Daniel Abt, ma in gara è costretto al ritiro.
Nella stagione successiva viene confermato dal team, rinominato NIO Formula E Team.[7] Conquista il suo primo podio nella categoria all'E-Prix di Città del Messico, giungendo secondo, e termina il campionato in decima posizione, dopo aver saltato le ultime due gare per un infortunio al polso, subito durante le prove dell'E-Prix di New York.
2018-2019
Per la stagione 2018-2019 viene nuovamente confermato dal team NIO[8]. La stagione si dimostra negativa, solo in tre occasioni raggiunge i punti e chiude 20º in classifica con soli sette punti.
2019-2020
Turvey continua nella Formula E anche nel 2020 sempre con NIO[9]. Risulta la peggiore stagione della sua carriera, arrivando a fine stagione senza ottenere punti finendo 24º in classifica.
2020-2021
Nel 2021 inizia la sua sesta stagione in Formula E, sempre con il team cinese NIO[10]. La stagione si rivelerà migliore della precedente, con l'inglese che giunge addirittura sesto nella seconda gara in Arabia. Il prosieguo della stagione è avaro di risultati, se si esclude un ottavo posto a Valencia e Turvey non andrà oltre il 23º posto in classifica con 13 punti conquistati.
2021-2022
Viene confermato per la settima stagione sempre con lo stesso team.