Émile Lemoine

Émile Lemoine

Émile Lemoine
Państwo działania	Francja
Data i miejsce urodzenia	22 listopada 1840 Quimper
Data i miejsce śmierci	21 lutego 1912 Paryż
Zawód, zajęcie	matematyk, inżynier
profesor
Specjalność: geometria
Alma Mater	École polytechnique
Multimedia w Wikimedia Commons

Émile Michel Hyacinthe Lemoine (wym. [emil ləmwan]; ur. 22 listopada 1840 w Quimper, zm. 21 lutego 1912 w Paryżu) – francuski matematyk i inżynier zajmujący się geometrią. Najbardziej znany jest z wykazania, że symediany trójkąta przecinają się w jednym punkcie, nazywanym dziś na jego cześć punktem Lemoine’a. Uznawany jest za jednego ze współtwórców nowoczesnej geometrii trójkąta(inne języki), ponieważ wiele jej cech charakterystycznych jest obecnych w jego pracach.

Do jego pozostałych dokonań matematycznych należą opracowany przez niego system zwany géométrographie (geometrografią) oraz metoda wiążąca wyrażenia algebraiczne z obiektami geometrycznymi.

Po ukończeniu studiów Lemoine przez pewien czas nauczał matematyki w École polytechnique. W późniejszych latach pracował jako inżynier w Paryżu, amatorsko interesował się też muzyką. W okresie pracy dydaktycznej i inżynierskiej opublikował kilka prac matematycznych. Założył ponadto czasopismo matematyczne L'Intermédiaire des mathématiciens(inne języki).

Lemoine urodził się w Quimper w Bretanii 22 listopada 1840 jako syn emerytowanego kapitana, który brał udział w kampaniach napoleońskich po roku 1807. W dzieciństwie uczęszczał do wojskowego prytaneum w La Flèche dzięki stypendium przyznanemu mu, ponieważ jego ojciec pomagał zakładać tę szkołę. Już w tym wczesnym okresie, w 1858, opublikował w piśmie Nouvelles annales de mathématiques(inne języki) swój pierwszy artykuł, Note sur une conique et son cercle directeur, poświęcony krzywej stożkowej^[1].

W wieku dwudziestu lat, w roku śmierci ojca, Lemoine został przyjęty do École polytechnique w Paryżu^[1]. Jako jej student współtworzył wpływowe stowarzyszenie muzyki kameralnej o nazwie La Trompette(inne języki), dla którego Camille Saint-Saëns skomponował kilka utworów, w tym septet na trąbkę, kwintet smyczkowy i fortepian^[1]. Nazwa stowarzyszenia wzięła się z żartobliwego okrzyku jednego z kolegów: Les voilà encore à leur trompette! („znowu są przy swojej trąbce”)^[2]. Lemoine prowadził wieczory muzyczne La Trompette aż do śmierci, a wspomniany septet Saint-Saënsa (Es-dur op. 65, 1880) powstał na jego namowę^[2]. Po ukończeniu studiów w 1866^[1] rozważał karierę prawniczą. Zrezygnował z niej, ponieważ jego republikańskie przekonania i liberalne poglądy religijne kłóciły się z ideałami panującego wówczas Drugiego Cesarstwa^[3]. Zamiast tego studiował i nauczał w różnych instytucjach: był studentem École des Mines, preparatorem (asystentem przygotowującym pokazy) astronoma Pierre’a Janssena w szkole architektury oraz zastępcą swojego dawnego profesora Kiœsa na kursie przygotowawczym École des Beaux-Arts. Ponadto uczył się chemii w laboratorium Charles’a Adolphe’a Wurtza i uczęszczał na zajęcia szkoły medycznej^[3]. Wykładał także w różnych paryskich placówkach naukowych i przez pewien czas pracował jako prywatny nauczyciel, zanim przyjął stanowisko profesora w École polytechnique^[4].

W 1870 choroba krtani zmusiła go do przerwania pracy dydaktycznej. Po krótkim pobycie w Grenoble wrócił do Paryża i opublikował część swoich pozostałych badań matematycznych. Brał również udział w zakładaniu kilku towarzystw naukowych i czasopism, takich jak Francuskie Towarzystwo Matematyczne(inne języki) (Société mathématique de France), Journal de Physique oraz Société de Physique(inne języki) – na początku lat 70. XIX wieku^[3].

Jako jeden z członków-założycieli Association française pour l'avancement des sciences(inne języki) Lemoine występował na jej zjazdach z pracami o geometrii trójkąta. W 1873 na zjeździe w Lyonie przedstawił notę Sur quelques propriétés d'un point remarquable du triangle^[3], a w 1874 na zjeździe w Lille – pracę Note sur les propriétés du centre des médianes antiparallèles dans un triangle, której głównym tematem był punkt noszący dziś jego imię^[3]. Większość pozostałych wyników omówionych w tej pracy dotyczyła różnych punktów współokręgowych, które można skonstruować na podstawie punktu Lemoine’a^[1].

Podczas wojny francusko-pruskiej Lemoine przez pewien czas służył w armii francuskiej. Zwolniony z niej w okresie Komuny Paryskiej, latem 1871 wrócił do Paryża, gdzie został inżynierem robót publicznych. W 1886 stanął na czele miejskiego działu gazowniczego^[3][1]. W tej karierze awansował do rangi głównego inspektora i jako taki odpowiadał za zaopatrzenie miasta w gaz – stanowisko to piastował do 1896^[5].

W okresie pracy inżynierskiej Lemoine napisał traktat poświęcony konstrukcjom geometrycznym za pomocą cyrkla i linijki, zatytułowany La Géométrographie ou l'art des constructions géométriques. Uznawał go za swoje największe dzieło, choć nie zostało ono dobrze przyjęte^[1]. Pierwotny tytuł brzmiał De la mesure de la simplicité dans les sciences mathématiques, a początkowy zamysł obejmował idee, które – zdaniem Lemoine’a – dotyczyły całości matematyki. Ograniczenia czasowe zawęziły jednak zakres pracy^[3]. Zamiast pierwotnej idei Lemoine zaproponował sprowadzenie procesu konstrukcji do kilku podstawowych operacji wykonywanych cyrklem i linijką^[6]. Pracę tę przedstawił na zjeździe Association française w Oranie w Algierii w 1888^[3], jego system konstrukcji nie spotkał się jednak z większym uznaniem matematyków^[6]. W tym samym roku Lemoine opublikował kilka kolejnych prac o swoim systemie konstrukcji, m.in. Sur la mesure de la simplicité dans les constructions géométriques w Comptes rendus(inne języki) Francuskiej Akademii Nauk. Dalsze teksty na ten temat ogłosił w czasopismach Mathesis (1888), Journal des mathématiques élémentaires (1889) i Nouvelles annales de mathématiques (1892) oraz w samodzielnie wydanej La Géométrographie, którą prezentował na zjazdach Association française w Pau (1892), Besançon (1893) i Caen (1894)^[3].

Następnie Lemoine opublikował kolejną serię prac, w tym cykl poświęcony temu, co nazywał transformation continue (transformacją ciągłą), wiążącą równania matematyczne z obiektami geometrycznymi. Nie chodziło jednak o przekształcenie ciągłe w dzisiejszym, topologicznym sensie. Należały do nich prace Sur les transformations systématiques des formules relatives au triangle (1891), Étude sur une nouvelle transformation continue (1891), Une règle d'analogies dans le triangle… (1893) oraz Applications au tétraèdre de la transformation continue (1894)^[3]. W 1892 wraz z Henrim-Auguste’em Delannoyem(inne języki) i Charles’em-Ange’em Laisantem(inne języki) (przyjacielem poznanym w École polytechnique) zajmował się wydaniem rekreacyjnych dzieł Édouarda Lucasa^[7].

W 1894 Lemoine wraz z Laisantem założył kolejne czasopismo matematyczne, L'Intermédiaire des mathématiciens. Planował takie pismo już od początku 1893, lecz sądził, że będzie zbyt zajęty, aby je tworzyć. Podczas kolacji z Laisantem w marcu 1893 podsunął ten pomysł. Laisant namówił go do realizacji i wspólnie zwrócili się do wydawnictwa Gauthier-Villars(inne języki), które wydało pierwszy numer w styczniu 1894. Lemoine był pierwszym redaktorem naczelnym pisma i pełnił tę funkcję przez kilka lat. Rok po ukazaniu się pierwszego numeru, w 1895, wycofał się z czynnych badań matematycznych, nadal jednak wspierał tę dziedzinę^[1]. Émile Lemoine zmarł 21 lutego 1912 w Paryżu^[1].

Prace Lemoine’a uznaje się za ważny wkład w powstanie nowoczesnej geometrii trójkąta^[8]. W biografii Lemoine’a ogłoszonej w czasopiśmie American Mathematical Monthly David Eugene Smith(inne języki) stwierdził, że „nikomu spośród tych [geometrów] bardziej niż Émile’owi-Michelowi-Hyacinthe’owi Lemoine’owi nie należy się zaszczyt zapoczątkowania tego ruchu [nowoczesnej geometrii trójkąta]”^[3]. Na dorocznym posiedzeniu paryskiej Akademii Nauk w 1902 Lemoine otrzymał wartą 1000 franków nagrodę Francœura^[9]. Zdobywał ją w latach 1902–1904 oraz 1906–1912, z jedyną przerwą w 1905, gdy laureatem został Xavier Stouff^[10][11].

Punkt Lemoine’a L. Czarne linie to środkowe, kropkowane to dwusieczne, a czerwone to symediany (odbicia środkowych względem dwusiecznych).

Pierwszy okrąg Lemoine’a (czerwony): proste poprowadzone przez punkt Lemoine’a równolegle do boków przecinają je w sześciu punktach współokręgowych.

W pracy z 1874 zatytułowanej Note sur les propriétés du centre des médianes antiparallèles dans un triangle Lemoine udowodnił, że symediany trójkąta – odbicia środkowych względem dwusiecznych kątów – przecinają się w jednym punkcie^[12]. Do innych wyników tej pracy należała obserwacja, że symediana wychodząca z wierzchołka trójkąta dzieli przeciwległy bok na odcinki, których stosunek jest równy stosunkowi kwadratów dwóch pozostałych boków^[13.1]. Formalnie, dla trójkąta ${\displaystyle ABC}$ o bokach ${\displaystyle a=BC}$, ${\displaystyle b=CA}$, ${\displaystyle c=AB}$ symediana wychodząca z wierzchołka ${\displaystyle A}$ przecina bok ${\displaystyle BC}$ w punkcie ${\displaystyle D}$ spełniającym ${\displaystyle {\tfrac {BD}{DC}}={\tfrac {c^{2}}{b^{2}}}}$^[13.1]. Wynika stąd, że punkt Lemoine’a ma współrzędne barycentryczne ${\displaystyle a^{2}:b^{2}:c^{2}}$, równoważne współrzędnym trójliniowym ${\displaystyle a:b:c}$^[14][13.1].

Lemoine wykazał też, że jeśli przez punkt Lemoine’a poprowadzić proste równoległe do boków trójkąta, to sześć punktów przecięcia tych prostych z bokami jest współokręgowych, czyli leży na jednym okręgu^[13.2][14]. Okrąg ten nazywany jest dziś pierwszym okręgiem Lemoine’a(inne języki) lub po prostu okręgiem Lemoine’a^[1][15]. Jego środek leży w połowie odcinka łączącego punkt Lemoine’a ze środkiem okręgu opisanego na trójkącie, a sześć wspomnianych punktów przecięcia tworzy wpisany w ten okrąg sześciokąt Lemoine’a^[16][17].

Punktem tym zajmowali się już wcześniej inni matematycy, dlatego w Niemczech przez pewien czas nazywano go „punktem Grebego” – od nazwiska Ernsta Wilhelma Grebego(inne języki), któremu błędnie przypisywano pierwszeństwo. Dla ujednolicenia nazewnictwa Robert Tucker(inne języki) zaproponował określenie „punkt symedialny”^[5], a Joseph Neuberg(inne języki) w 1884 wprowadził nazwę „punkt Lemoine’a”, która przyjęła się zwłaszcza we Francji^[18].

System konstrukcji Lemoine’a, géométrographie (geometrografia(inne języki)), miał stworzyć metodologię pozwalającą oceniać konstrukcje geometryczne i umożliwiał bardziej bezpośrednie upraszczanie konstrukcji już istniejących. W jego opisie Lemoine wymienił pięć podstawowych operacji: przyłożenie nóżki cyrkla do danego punktu, przyłożenie jej do danej prostej, narysowanie okręgu cyrklem opartym o wspomniany punkt lub prostą, przyłożenie linijki do danej prostej oraz przedłużenie prostej linijką^[6][19].

„Prostotę” konstrukcji można mierzyć liczbą wykonanych operacji. W swojej pracy Lemoine omówił jako przykład problem Apoloniusza, postawiony pierwotnie przez Apoloniusza z Pergi w epoce hellenistycznej, czyli zadanie skonstruowania okręgu stycznego do trzech danych okręgów. Problem rozwiązał już w 1817 Joseph Diaz Gergonne. Zwykła konstrukcja wymagała ponad 400 operacji, a Lemoine zredukował ich liczbę do 199^[6][1]. Później opisano jeszcze prostsze rozwiązania, m.in. Fredericka Soddy’ego z 1936 i Davida Eppsteina(inne języki) z 2001^[20]. Ustalenie, czy dana konstrukcja ma najmniejszą możliwą prostotę, bywa wskazywane jako zagadnienie prawdopodobnie nierozwiązane^[21].

W 1894 Lemoine sformułował hipotezę znaną dziś jako hipoteza Lemoine’a(inne języki): każda liczba nieparzysta większa od 5 da się zapisać w postaci ${\displaystyle p+2q}$, gdzie ${\displaystyle p}$ i ${\displaystyle q}$ są liczbami pierwszymi. Innymi słowy, jest ona sumą liczby pierwszej i podwojonej liczby pierwszej (np. ${\displaystyle 7=3+2\cdot 2}$)^[22][23]. Hipoteza ta jest mocniejsza od hipotezy Goldbacha dla liczb nieparzystych, głoszącej, że każda liczba nieparzysta większa od 5 jest sumą trzech liczb pierwszych. Zapis ${\displaystyle p+2q}$ stanowi bowiem jej szczególny przypadek^[23]. W krajach anglosaskich hipoteza Lemoine’a bywa nazywana hipotezą Levy’ego, za artykułem Hymana Levy’ego z 1963^[24]. W 1985 John Kiltinen i Peter Young sformułowali jej wzmocnienie, które nazwali „wyrafinowaną hipotezą Lemoine’a”^[23].

Nathan Altshiller Court określił Lemoine’a jako współtwórcę (obok Henriego Brocarda i Josepha Neuberga) nowoczesnej geometrii trójkąta – terminu używanego m.in. przez Williama Gallatly’ego^[13.3]. W tym kontekście słowo „nowoczesna” odnosi się do geometrii rozwijanej od końca XVIII wieku^[25]. Opiera się ona na abstrakcji figur na płaszczyźnie, a nie na stosowanych wcześniej metodach analitycznych, wykorzystujących konkretne miary kątów i odległości. Geometria ta skupia się na takich zagadnieniach jak współliniowość, współpękowość i współokręgowość, gdyż nie wymagają one wspomnianych miar^[26].

Prace Lemoine’a wyznaczyły wiele cech tego nurtu. Jego géométrographie, powiązanie równań z czworościanami i trójkątami oraz badania nad współpękowością i współokręgowością wniosły wkład do ówczesnej geometrii trójkąta. Definicje punktów trójkąta, takich jak punkt Lemoine’a, stały się jej stałym elementem, a inni nowocześni geometrzy trójkąta, jak Brocard i Gaston Tarry(inne języki), pisali o podobnych punktach^[25].

Nazwiskiem Lemoine’a nazwano później także inne obiekty geometrii trójkąta. Należą do nich oś Lemoine’a (czyli biegunowa punktu Lemoine’a względem okręgu opisanego) oraz drugi i trzeci okrąg Lemoine’a^[27][28]. Wśród nich jest również wpisana w trójkąt elipsa Lemoine’a, mająca ogniska w punkcie Lemoine’a i środku ciężkości trójkąta^[29]. Jego imię noszą też trójkąt Lemoine’a oraz kubika Lemoine’a (krzywa trzeciego stopnia)^[30][31]. Już w 1868 Lemoine postawił ponadto problem odtworzenia trójkąta na podstawie wierzchołków trójkątów równobocznych zbudowanych na jego bokach. Ogólne rozwiązanie, dla trójkątów równoramiennych, podał w 1869 Ludwig Kiepert(inne języki), posługując się hiperbolą Kieperta(inne języki)^[32].

• Punkty Brocarda
• Punkt Nagela

• John J.J.J. O'Connor John J.J.J., Edmund F.E.F. Robertson Edmund F.E.F., Émile Michel Hyacinthe Lemoine [online], MacTutor History of Mathematics Archive [dostęp 2026-06-25] [zarchiwizowane z adresu 2026-04-27]  (ang.).
• Nathan AltshillerN.A. Court Nathan AltshillerN.A., College Geometry, Nowy Jork: Dover Publications, 2007, ISBN 0-486-45805-9  (ang.).

• John J. O’Connor; Edmund F. Robertson: Émile Michel Hyacinthe Lemoine w MacTutor History of Mathematics archive (ang.)
• Prace Lemoine’a w bazie NUMDAM (fr.)