означает[1], что делится на , или что число кратно числу .
означает, что делит, или, что то же самое: — делитель.
Связанные определения
У каждого натурального числа, большего единицы, имеются по крайней мере два натуральных делителя: единица и само это число. При этом натуральные числа, имеющие ровно два делителя, называются простыми, а имеющие больше двух делителей — составными. Единица имеет ровно один делитель и не является ни простым, ни составным.
У каждого натурального числа, большего , есть хотя бы один простой делитель.
Собственным делителем числа называется всякий его делитель, отличный от самого числа. У простых чисел существует ровно один собственный делитель — единица.
Используется также понятие тривиальных делителей: это само число и единица. Таким образом, простое число может быть определено как число, не имеющее никаких делителей, помимо тривиальных.
Вне зависимости от делимости целого числа на целое число , число всегда можно разделить на с остатком, то есть представить в виде:
где .
В этом соотношении число называется неполным частным, а число — остатком от деления на . Как частное, так и остаток определяются однозначно.
Число делится нацело на тогда и только тогда, когда остаток от деления на равен нулю.
Всякое число, делящее как , так и , называется их общим делителем; максимальное из таких чисел называется наибольшим общим делителем. У всякой пары целых чисел есть по крайней мере два общих делителя: и . Если других общих делителей нет, то эти числа называются взаимно простыми.
Два целых числа и называются равноделимыми на целое число , если либо и , и делится на , либо ни , ни не делится на него.
Говорят, что число кратно числу , если делится на без остатка. Если число делится без остатка на числа и , то оно называется их общим кратным. Наименьшее такое натуральное называется наименьшим общим кратным чисел и .
Свойства
Замечание: во всех формулах этого раздела предполагается, что — целые числа.
В системе целых чисел выполняются только первые два из этих трёх свойств; например, и но . То есть отношение делимости целых чисел является только лишь предпорядком.
Здесь — постоянная Эйлера — Маскерони, а для Дирихле получил значение Этот результат многократно улучшался, и в настоящее время наилучший известный результат (получен в 2003 году Хаксли). Однако наименьшее значение , при котором эта формула останется верной, неизвестно (доказано, что оно не меньше, чем ).[2][3][4]
При этом средний делитель большого числа n в среднем растёт как , что было обнаружено А. Карацубой[5]. По компьютерным оценкам М. Королёва .