Не́га-позицио́нная систе́ма счисле́ния — позиционная система счисления с отрицательным основанием. Особенностью таких систем является отсутствие знака перед отрицательными числами и, следовательно, отсутствие правил знаков. Всякое число любой из нега-позиционных систем, отличное от , с нечётным числом цифр — положительно, а с чётным числом цифр — отрицательно. Часто число в нега-позиционной системе требует для записи на одну цифру больше, чем то же число в системе с положительным основанием. Обычно название нега-позиционной системы состоит из приставки нега- и названия соответствующей системы счисления с положительным основанием; например, нега-десятичная (b = −10), нега-троичная (b = −3), нега-двоичная (b = −2) и другие.
Нега-позиционные системы счисления были впервые предложены Витторио Грюнвальдом[англ.] в его работе «Giornale di Matematiche di Battaglini» 23 (стр. 203—221), опубликованной в 1885 году. Грюнвальд описал алгоритмы сложения, вычитания, умножения, деления, извлечения корня, признаков делимости и преобразования систем счисления.
Использование
Число x в нега-позиционной системе счисления с основанием представляется в виде линейной комбинации степеней числа :
,
где — это целые числа, называемые цифрами и удовлетворяющие неравенству , — порядковый номер разряда начиная с нулевого, n — число разрядов.
Каждая степень в такой записи называется разрядом, старшинство разрядов и соответствующих им цифр определяется значением показателя . Обычно для ненулевого числа требуют, чтобы старшая цифра в b-ричном представлении была также ненулевой.
Некоторые числа обладают одним и тем же представлением в системах счисления с основанием и (позиционных и соответствующим им нега-позиционных). К примеру, числа от 100 до 109 одинаково записываются в десятичной и нега-десятичных системах счисления. Аналогично:
То есть число 17 имеет одинаковое представление в двоичной и нега-двоичной системах счисления — .
Представления чисел от −12 до 12 в различных системах счисления:
Десятичное
Нега-десятичное
Двоичное
Нега-двоичное
Троичное
Нега-троичное
-12
28
-1100
110100
-110
1210
-11
29
-1011
110101
-102
1211
-10
10
-1010
1010
-101
1212
-9
11
-1001
1011
-100
1200
-8
12
-1000
1000
-22
1201
-7
13
-111
1001
-21
1202
-6
14
-110
1110
-20
20
-5
15
-101
1111
-12
21
-4
16
-100
1100
-11
22
-3
17
-11
1101
-10
10
-2
18
-10
10
-2
11
-1
19
-1
11
-1
12
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
2
2
10
110
2
2
3
3
11
111
10
120
4
4
100
100
11
121
5
5
101
101
12
122
6
6
110
11010
20
110
7
7
111
11011
21
111
8
8
1000
11000
22
112
9
9
1001
11001
100
100
10
190
1010
11110
101
101
11
191
1011
11111
102
102
12
192
1100
11100
110
220
Перевод в нега-позиционные системы
Нега-позиционное представление числа может быть получено последовательными делениями с остатком исходного числа на (то есть на основание нега-позиционной системы) и записью подряд остатков начиная с последнего. Заметим, что если , с остатком , то . Пример перевода в нега-троичную систему:
Следовательно, нега-троичным представлением числа 146(10) является 21102(-3).
Здесь может располагаться отдельный раздел. Помогите Википедии, написав его.(31 декабря 2016)
Арифметические операции
Сложение
Сложение столбиком надо делать как в обычной системе, например если вы хотите сложить в нега-десятичной системе счисления, то это надо делать как в десятичной системе счисления. Но с одним исключением: если при сложении в каком-либо разряде получается число не менее 10, то надо в этот разряд записать число единиц из полученного числа а из соседнего слева разряда вычесть единицу. Если слева нет разряда, то приписать слева 19 (для нега-десятичной, для нега-троичной 12, для нега-двоичной 11). Например (нега-десятичная система):
· ·
18115
+
5487
3582
5+7=12, 2 в разряд единиц, из соседнего слева вычитаем единицу. 8+5=13, 3 в разряд минус тысяч, из соседнего слева вычитаем единицу.
·
72
+
49
1901
2+9=11, 1 в разряд единиц, из соседнего слева вычитаем единицу. 6+4=10, 0 в разряд минус десятков, соседнего слева — нет, приписываем слева 19.
Вычитание
Вычитание столбиком надо делать как в обычной системе, например если вы хотите вычесть в нега-десятичной системе счисления (НДСС), то это надо делать как в десятичной системе счисления. Но с одним исключением: если при вычитании в каком-либо разряде надо занять десяток, то вы это и делаете, но из соседнего слева разряда вы не вычитаете единицу, а наоборот прибавляете её туда. Если слева нет разряда, то приписать слева 1. Например (нега-десятичная система):
52
−
39
??
2−9 нельзя, занимаем единицу.
2 12
− −
99
?? 3
12−9=3, 3 в разряд единиц, в соседний слева разряд прибавляем единицу (52−12= 52−2+10 =50+10=60). 6−3=3.
52 5260 60 00
− − − − −
3930303000
?? ?3 ?3 ?3 33
52 в НДСС = −4810. 39 в НДСС = −2110. 33 в НДСС = −2710.
−4810 − (−2110) = −2710.
Умножение
Таблицы умножения
Таблица умножения в нега-двоичной системе счисления
×
0
1
0
0
0
1
0
1
Таблица умножения в нега-троичной системе счисления
2
0
2
121
1
0
1
2
0
0
0
0
х
0
1
2
Таблица умножения в нега-десятичной системе счисления