Интеграл Дарбу — один из способов обобщения интеграла Римана на любые ограниченные на отрезке функции. Различают верхний и нижний интеграл Дарбу. Интегралы Дарбу геометрически представляют собой верхнюю и нижнюю площадь под графиком.

Для определения интегралов Дарбу прежде необходимо ввести вспомогательное понятие сумм Дарбу.

Пусть на отрезке ${\displaystyle [a,b]}$ определена функция вещественного переменного ${\displaystyle f}$.

Разбиением ${\displaystyle \tau }$ отрезка ${\displaystyle [a,b]}$ будем называть конечное множество точек этого отрезка, включающего в себя точки ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$. ^[1] Для удобства дальнейших записей будем вводить обозначения. Точки разбиения ${\displaystyle \tau }$ обозначим за ${\displaystyle x_{i}}$, причём пронумеруем их в порядке возрастания (начиная с нуля):

${\displaystyle \tau =\left\{{{x}_{0},\ldots {x}_{n}}\right\},\ a={{x}_{0}}<{{x}_{1}}<\ldots <{{x}_{n-1}}<{{x}_{n}}=b}$.

Множество всех разбиений отрезка ${\displaystyle [a;b]}$ обозначим за ${\displaystyle T}$.

Частичным отрезком разбиения ${\displaystyle \Delta _{i}}$ назовём отрезок ${\displaystyle [x_{i-1},x_{i}]}$.

${\displaystyle \Delta _{i}=[x_{i-1},x_{i}]}$

Длину частичного отрезка разбиения обозначим за ${\displaystyle \Delta x_{i}}$.

${\displaystyle \Delta x_{i}=x_{i}-x_{i-1}}$

Диаметром разбиения ${\displaystyle d}$ назовём максимальную длину частичного отрезка разбиения ${\displaystyle \Delta x_{i}}$.^[2]

${\displaystyle d=\max \Delta x_{i}}$

Точные грани функции на частичных отрезках разбиения обозначим за ${\displaystyle m_{i}}$ и ${\displaystyle M_{i}}$.

${\displaystyle {{m}_{i}}=\inf _{x\in \Delta _{i}}f(x)}$,

${\displaystyle {{M}_{i}}=\sup _{x\in \Delta _{i}}f(x)}$.

Тогда, нижней суммой Дарбу ${\displaystyle s(f,\tau )}$ функции ${\displaystyle f}$ на разбиении ${\displaystyle \tau }$ называется

${\displaystyle s(f,\tau )=\sum _{i=1}^{n}m_{i}\Delta x_{i}}$

Верхней суммой Дарбу ${\displaystyle S(f,\tau )}$ называется

${\displaystyle S(f,\tau )=\sum _{i=1}^{n}M_{i}\Delta x_{i}}$^[3]

Тогда нижним интегралом Дарбу ${\displaystyle I_{*}}$ называется

${\displaystyle I_{*}=\sup _{\tau \in T}s(f,\tau )}$

Верхним интегралом Дарбу ${\displaystyle I^{*}}$ называется

${\displaystyle I^{*}=\inf _{\tau \in T}S(f,\tau )}$^[4]

Существуют также альтернативные определения интегралов Дарбу. Обычно они доказываются как свойства.

• Нижний интеграл Дарбу есть предел нижних сумм Дарбу при стремлении диаметра разбиения к нулю, а верхний есть предел верхних.^[5]

${\displaystyle I_{*}=\lim _{d(\tau )\to 0}s(f,\tau )}$

${\displaystyle I^{*}=\lim _{d(\tau )\to 0}S(f,\tau )}$

• Нижний интеграл Дарбу есть нижний предел интегральных сумм при стремлении диаметра разбиения к нулю, а верхний есть верхний предел.^[6]

${\displaystyle I_{*}=\varliminf _{d(\tau )\to 0}\sigma (f,\tau ,\xi )}$

${\displaystyle I^{*}=\varlimsup _{d(\tau )\to 0}\sigma (f,\tau ,\xi )}$

• При любых произвольно взятых двух разбиениях одного и того же отрезка, нижняя сумма Дарбу на одном разбиении не превосходит верхней суммы Дарбу на другом разбиении.^[7]

${\displaystyle \forall \tau _{1},\tau _{2}\in T\quad s(f,\tau _{1})\leq S(f,\tau _{2})}$

• Нижние суммы Дарбу ограничены сверху, а верхние — снизу.^[4]

• При добавлении к имеющемуся разбиению новых точек нижняя сумма Дарбу никак не может уменьшиться, а верхняя никак не может увеличиться.^[7]

${\displaystyle {\begin{aligned}s(f,\tau ')\geq s(f,\tau )\\S(f,\tau ')\leq S(f,\tau )\end{aligned}}\quad \tau '}$ — измельчение ${\displaystyle \tau }$.

Более того, изменению этих сумм можно дать следующую оценку.

Пусть d — диаметр ${\displaystyle \tau }$, измельчение ${\displaystyle \tau '}$ — получено добавлением не более чем ${\displaystyle l}$ точек к ${\displaystyle \tau }$, ${\displaystyle M}$ и ${\displaystyle m}$ — точные грани функции ${\displaystyle f}$ на отрезке ${\displaystyle [a;b]}$. Тогда

${\displaystyle s(f,\tau ')-s(f,\tau )\leq (M-m)ld}$

${\displaystyle S(f,\tau )-S(f,\tau ')\leq (M-m)ld}$^[5]

• Пусть ${\displaystyle \sigma (f,\tau ,\xi )}$ — интегральная сумма. При любом произвольно взятом разбиении с отмеченными точками ${\displaystyle (\tau ,\xi )}$ верно следующее неравенство:

${\displaystyle s(f,\tau )\leq \sigma (f,\tau ,\xi )\leq S(f,\tau )}$^[8]

• Суммы Дарбу есть точные грани интегральных сумм на данном разбиении.^[7] Пусть ${\displaystyle \Xi }$ — множество всех возможных отмеченных точек на разбиении ${\displaystyle \tau }$. Тогда

${\displaystyle s(f,\tau )=\inf _{\xi \in \Xi }\sigma (f,\tau ,\xi )}$,

${\displaystyle S(f,\tau )=\sup _{\xi \in \Xi }\sigma (f,\tau ,\xi )}$.

• Для любой ограниченной на отрезке функции интегралы Дарбу существуют и конечны.^[9] Для неограниченной сверху функции верхний интеграл равен ${\displaystyle +\infty }$, для неограниченной снизу нижний интеграл равен ${\displaystyle -\infty }$.
• Для сумм и интегралов верны следующие неравенства

${\displaystyle s(f,\tau )\leq I_{*}\leq I^{*}\leq S(f,\tau )}$^[9]

• Основная лемма Дарбу. Предел нижних сумм Дарбу при стремлении диаметра разбиения к нулю существует для любой ограниченной функции и равен нижнему интегралу Дарбу. Предел верхних сумм Дарбу при стремлении диаметра разбиения к нулю существует для любой ограниченной функции существует и равен верхнему интегралу Дарбу.^[5]

${\displaystyle \exists \lim _{d(\tau )\to 0}s(f,\tau )}$ и ${\displaystyle I_{*}=\lim _{d(\tau )\to 0}s(f,\tau )}$

${\displaystyle \exists \lim _{d(\tau )\to 0}S(f,\tau )}$ и ${\displaystyle I^{*}=\lim _{d(\tau )\to 0}S(f,\tau )}$

Основная лемма Дарбу устанавливает эквивалентность первого и второго определения интегралов Дарбу.

• Критерий Дарбу. Интегрируемость по Риману на ${\displaystyle [a;b]}$ ограниченной на этом отрезке функции ${\displaystyle f}$ равносильна равенству верхнего и нижнего интегралов Дарбу на этом отрезке.

${\displaystyle f}$ — интегрируема по Риману ${\displaystyle \Leftrightarrow I_{*}=I^{*}}$^[10]

По аналогии с кратным интегралом Римана можно определить и кратный интеграл Дарбу. Пусть ${\displaystyle G}$ — измеримое по Жордану множество, ${\displaystyle \tau }$ — его разбиение конечным числом измеримых по Жордану множеств. Обозначим множества этого разбиения за ${\displaystyle \Delta _{i}}$.

${\displaystyle \tau =\left\{{{\Delta }_{1},\ldots {\Delta }_{n}}\right\}}$

За ${\displaystyle \Delta x_{i}}$ обозначим меру Жордана ${\displaystyle \Delta _{i}}$.

Множество всех разбиений ${\displaystyle G}$ будем обозначать ${\displaystyle T}$.

Диаметр разбиения ${\displaystyle d}$ определим как максимум из диаметров множеств разбиения (диаметр множества разбиения — точная верхняя грань расстояний между его точками).

${\displaystyle \max _{i=1}^{n}\sup _{x,y\in \Delta _{i}}|x-y|}$

Точные грани функции на множествах разбиения обозначим за ${\displaystyle m_{i}}$ и ${\displaystyle M_{i}}$.

${\displaystyle {{m}_{i}}=\inf _{x\in \Delta _{i}}f(x)}$,

${\displaystyle {{M}_{i}}=\sup _{x\in \Delta _{i}}f(x)}$.

Тогда, нижней суммой Дарбу ${\displaystyle s(f,\tau )}$ функции ${\displaystyle f}$ на разбиении ${\displaystyle \tau }$ называется

${\displaystyle s(f,\tau )=\sum _{i=1}^{n}m_{i}\Delta x_{i}}$

Верхней суммой Дарбу ${\displaystyle S(f,\tau )}$ называется

${\displaystyle S(f,\tau )=\sum _{i=1}^{n}M_{i}\Delta x_{i}}$^[11]

Тогда нижним интегралом Дарбу ${\displaystyle I_{*}}$ называется

${\displaystyle I_{*}=\sup _{\tau \in T}s(f,\tau )}$

Верхним интегралом Дарбу ${\displaystyle I^{*}}$ называется

${\displaystyle I^{*}=\inf _{\tau \in T}S(f,\tau )}$^[12]

Все вышеперечисленные свойства сумм Дарбу и интегралов Дарбу, а также альтернативные определения сохраняются.^[13]

• Ильин В. А., Садовничий В. А., Сендов Бл. Х. Математический анализ. Начальный курс. — 2-е изд., перераб.. — М.: МГУ, 1985. — 662 с. с.
• Архипов Г. И., Садовничий В. А., Чубариков В. Н. Лекции по математическому анализу: Учебник для университетов и пед. вузов. — М.: Высшая школа, 1999. — 695 с. с. — ISBN 5-06-003596-4.
• Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа. В 3-х томах. Том 1. Дифференциальное и интегральное исчисления функций многих переменных (рус.). — М.: Дрофа, 2003. — 704 p.