В алгебраїчній топології n-вимірним числом Бетті простору X є ранг n-вимірної гомологічної групи з цілими коефіцієнтами. Еквівалентно числа Бетті рівні розмірності гомологічної групи з раціональними коефіцієнтами. Для кожного n числа Бетті — топологічні інваріанти поліедра , що реалізовує комплекс K , що вказує число попарно негомологічних (над раціональними числами ) циклів в ньому.
Термін «числа Бетті» було введено Анрі Пуанкаре , який назвав їх на честь італійського математика Енріко Бетті .
Приклади
Для сфери
S
n
:
{\displaystyle \ S^{n}:}
b
0
(
S
n
)
=
1
,
b
1
(
S
n
)
=
… … -->
=
b
n
− − -->
1
(
S
n
)
=
0
,
b
n
(
S
n
)
=
1.
{\displaystyle \ b_{0}(S^{n})=1,\quad b_{1}(S^{n})=\ldots =b_{n-1}(S^{n})=0,\quad b_{n}(S^{n})=1.}
Для проективної площини
P
2
(
R
)
:
{\displaystyle P_{2}(\mathbb {R} ):}
b
0
(
P
2
(
R
)
)
=
1
,
b
1
(
P
2
(
R
)
)
=
b
2
(
P
2
(
R
)
)
=
0.
{\displaystyle b_{0}(P_{2}(\mathbb {R} ))=1,\quad b_{1}(P_{2}(\mathbb {R} ))=b_{2}(P_{2}(\mathbb {R} ))=0.}
Для тора
T
2
:
{\displaystyle \ T^{2}:}
b
0
(
T
2
)
=
b
2
(
T
2
)
=
1
,
b
1
(
T
2
)
=
2.
{\displaystyle b_{0}(T^{2})=b_{2}(T^{2})=1,\quad b_{1}(T^{2})=2.}
Приклад: перше число Бетті в теорії графів
В топологічній теорії графів перше число Бетті графу G з n вершинами, m ребрами та k компонентами зв'язності дорівнює
m
− − -->
n
+
k
.
{\displaystyle m-n+k.\ }
Це можна безпосередньо довести із використанням математичної індукції за кількістю ребер. Нове ребро або збільшує кількість 1-циклів, або зменшує кількість компонент зв'язності.
Дивись цикломатичну складність як приклад застосування першого числа Бетті в розробці програмного забезпечення .
Властивості
Для скінченного симпліційного комплекса K групи гомологій H k (K ) є скінченно-породженими і, відтак, мають скінченний ранг. Якщо k перевищує максимальну розмірність симплексів K , то відповідні групи гомологій нульові. У цьому випадку
Ейлерова характеристика K може бути виражена наступним чином
χ χ -->
(
K
)
=
∑ ∑ -->
i
=
0
∞ ∞ -->
(
− − -->
1
)
i
β β -->
i
(
K
)
{\displaystyle \chi (K)=\sum _{i=0}^{\infty }(-1)^{i}\beta _{i}(K)}
Функція Пуанкаре є поліномом .
Згідно з теоремою Кюннета для будь-яких двох просторів X і Y , вірно наступне співвідношення для функцій Пуанкаре
P
X
× × -->
Y
=
P
X
P
Y
,
{\displaystyle P_{X\times Y}=P_{X}P_{Y},\,}
Література
Галузі топології Ключові поняття Характеристики Основні результати