Футболом займався з юнацького віку, коли став грати за дитячі і молодіжні команди «Насьйональ», за основу якого грав в 1915—1923 роках.
Кар'єра тренера
У 18 років заснував у рідному місті клуб «Пласа Колонія». Потім працював викладачем фізичної культури.
У 1922—1923 роках у період розколу уругвайського футболу Суппічі очолював збірну Уругваю, яка представляла Федерацію футболу Уругваю (ФУФ). Під його керівництвом збірна ФУФ зіграла 5 ігор з Аргентиною і одну із Чилі, з яких 3 матчі виграла, 2 рази зіграла внічию і лише в одному поступилася[1]. Потім працював з юнаками в «Пеньяролі».
Суппічі відомий своїм вольовим рішенням відрахувати в останній момент з команди суперзірку уругвайського футболу воротаря Андреса Масалі, олімпійського чемпіона 1928 року, через порушення спортивного режиму. Однак, це рішення не вплинуло на підсумковий результат і Уругвай все одно виграв домашній чемпіонат світу.
У 1935 році Суппічі три місяці керував клубом «Сентраль» (нині — «Сентраль Еспаньйол»), проте потім знову повністю зосередився на збірній Уругваю, якою керував до 1941 року, що є одним з найкращих показників по тривалості перебування на посаді головного тренера цієї команди. Також Альберто працював з командою на трьох Чемпіонатах Південної Америки — 1929 року (3 місце), 1937 року (3 місце) та 1939 року (2 місце)
У 1945 році керував «Пеньяролем» і привів команду до титулу чемпіона Уругваю.