Quillen prend sa retraite fin 2006. Il meurt de complications liées à la maladie d'Alzheimer le 30 avril 2011 à l'âge de 70 ans, en Floride[5].
Travaux
Ses contributions majeures aux mathématiques portent sur l'homotopie rationnelle et la K-théorie algébrique supérieure dont il est le fondateur.
Comme mentionné spécifiquement lors de l'attribution de la médaille Fields, sa contribution la plus célèbre est sa formulation de la K-théorie algébrique supérieure en 1972. Ce nouvel , formulé en termes d'homotopie, a montré son efficacité dans la formulation et la résolution de problèmes majeurs en algèbre, en particulier en théorie des anneaux et théorie des modules. Plus généralement, Quillen a développé des outils (notamment sa théorie de catégories de modèles) qui permettent une application des résultats algébro-topologiques à d'autres contextes.
Avant ses travaux révolutionnaires sur la K-théorie algébrique, Quillen a travaillé sur la conjecture d'Adams , formulée par Frank Adams en théorie de l'homotopie[6].
Sa preuve de la conjecture utilise des techniques issues de la représentation modulaire de la théorie des groupes, qu'il a ensuite appliquées pour travailler sur la cohomologie de groupes et la K-théorie algébrique. Il a également travaillé sur le cobordisme complexe(en), montrant que sa loi de groupe formel est essentiellement la loi universelle.
Parmi ses autres travaux, il a aussi fourni une preuve du théorème de Quillen–Suslin, également appelé conjecture de Serre, à propos de la trivialité des fibrés vectoriels algébriques dans un espace affine.
Il est également l'architecte, avec Dennis Sullivan, de la théorie d'homotopie rationnelle[7].
Daniel Quillen, Algebraic K-theory, I : Higher K-theories (Proc. Conf., Battelle Memorial Inst., Seattle, Wash., 1972), vol. 341, Berlin, New York, Springer-Verlag, coll. « Lecture Notes in Math », (DOI10.1007/BFb0067053, MR0338129), p. 85–147
Daniel Quillen, Proceedings of the International Congress of Mathematicians (Vancouver, B. C., 1974), Vol. 1, Montréal, Québec, Canad. Math. Congress, (MR0422392), p. 171–176 (Quillen's Q-construction)
Daniel Quillen, New developments in topology (Proc. Sympos. Algebraic Topology, Oxford, 1972), vol. 11, Cambridge University Press, coll. « London Math. Soc. Lecture Note Ser. », (MR0335604), p. 95–103
(en) Eric Friedlander et Daniel Grayson, « Daniel Quillen », Notices of the American Mathematical Society, American Mathematical Society, vol. 59, no 10, , p. 1392–1406 (DOI10.1090/noti903, lire en ligne, consulté le )