Les premiers résultats de la K-théorie ont été dans le cadre de la topologie algébrique, comme une théorie de cohomologie extraordinaire (elle ne vérifie pas l'axiome de dimension). Par la suite, ces méthodes ont été utilisées dans beaucoup d'autres domaines comme la géométrie algébrique, l'algèbre, la théorie des nombres, la théorie des opérateurs, etc.
Par ailleurs, Jean-Pierre Serre s'est appuyé sur l'analogie entre fibrés vectoriels et modules projectifs sur un anneau pour fonder la K-théorie algébrique en 1959. Ceci l'a conduit à signaler un problème ouvert[1] qu'on baptisa malgré lui la « conjecture de Serre » : Tout module projectif sur un anneau de polynômes d'un corps est un module libre. Cette conjecture a été prouvée en 1976, par Daniel Quillen et Andrei Suslin en utilisant des méthodes de K-théorie algébrique. Quillen a ensuite donné une définition satisfaisante des foncteurs Kn, en utilisant de la théorie homotopique.
Outre les mathématiciens déjà mentionnés, Max Karoubi fait partie des fondateurs de la K-théorie.
La K-théorie de la C*-algèbre des fonctions continues sur un espace compactY se déduit ainsi de celle de la sous-algèbre des fonctions continues nulles en un point fixé y, autrement dit, de l'algèbre C0(X) des fonctions continues nulles à l'infini sur le sous-espacelocalement compactX = Y\{y} (pour Y = Sn, X = ℝn).
et sont les algèbres de Cuntz(en) engendrées respectivement par n éléments et une infinité d'éléments.
La notion de tore non commutatif se généralise facilement aux dimensions supérieures. Ces tores non commutatifs ont la même K-théorie que leurs analogues commutatifs.
où la première application non triviale est de degré 0 et la seconde de degré 1. Le foncteur Tor permet ainsi d'exprimer l'éventuel défaut de surjectivité du morphismeinjectif.
Par exemple, puisque K0(C(S1)) = K1(C(S1)) = ℤ (sans torsion), l'algèbre C(S1)⊗n des fonctions continues sur le tore de dimension n a pour K-théorie : K0 ⊕ εK1 = (ℤ ⊕ εℤ)⊗n (avec ε2 = 1), soit ℤ2n–1 ⊕ εℤ2n–1.
↑« On ignore s'il existe des A-modules projectifs de type fini qui ne soient pas libres. » « Faisceaux algébriques cohérents », Annals of Mathematics, 1955.
↑(en) M. Pimsner et D.-V. Voiculescu, « K-groups of reduced crossed products by free groups », J. Operator Theory, vol. 8, no 1, , p. 131-156 (lire en ligne), cor. 3.2.