Lundgaard si affaccia al mondo delle corse correndo con i kart dal 2012 al 2016. Ottiene buoni risultati come la vittoria del campionato europeo CIK-FIA classe KFJ nel 2015 e il 3º posto nella WSK Champions Cup nel 2016[1].
Nel 2018 gareggia in Formula Renault, ancora con il team MP Motorsport, conquista quattro vittorie e si piazza secondo nella classifica finale e primo nella classifica degli esordienti.[3]
GP3 e Formula 3
Sempre nel 2018 partecipa alle due gare di GP3 disputate al circuito Paul Ricard, tagliando il traguardo in 12ª e 13ª posizione.[4]
Nel 2019 corre con il team ART Grand Prix nel campionato di Formula 3.[5] Nella prima gara disputata all'Hungaroring conquista pole, giro veloce e vittoria, conducendo dall'inizio alla fine.[6] Finisce il campionato al 6º posto in classifica generale.
Nel 2020 corre con il team ART Grand Prix per tutta la stagione[8]. Nel corso del campionato riesce a vincere due Sprint Race, al Red Bull Ring e al Mugello[9]. Lundgaard finisce la stagione con il settimo posto in classifica finale dietro al suo collega della Renault Junior Guanyu Zhou.
Il 10 febbraio ART Grand Prix conferma Lundgaard anche per la stagione 2021[10]. Durante i tre giorni di test pre-stagionali sul circuito di Sakhir Lundgaard si dimostra il più veloce[11]. Nella seconda gara stagionale in Bahrain arriva secondo dietro a Oscar Piastri[12], mentre nelle sei gare successive arriva a punti una sola volta, grazie a un nono posto nella Feature Race di Baku[13]. Torna a podio arrivando terzo nella prima gara sul Circuito di Silverstone[14].
Il 20 ottobre dello stesso anno Lundgaard viene ufficializzato come pilota titolare del team Rahal Letterman Lanigan Racing per la stagione 2022[16]. Il danese si dimostra tra i Rookie più competitivi e veloci, e, dopo essere finito quattro volte nella top 10, ad Indianapolis conquista il suo primo podio nella categoria, arrivando secondo dietro ad Alexander Rossi[17]. Lundgaard ottiene due top 5 e altre cinque top 10, chiudendo quattordicesimo in classifica venendo nominato Rookie dell'anno.
Visti i buoni risultati, il team Rahal Letterman Lanigan Racing rinnova il contratto di Lundgaard per tre anni[18], inoltre viene promosso alla guida della vettura numero 45[19]. Ottiene a sorpresa la pole position nell'IMS GMR GP ed in gara ottiene un ottimo quarto posto, risultato che ripete anche nella corsa di Mid-Ohio. All'Exhibition Place di Toronto ottiene la sua seconda pole position e vince la sua prima corsa in IndyCar[20].
McLaren (2025-)
Il due luglio del 2024, il pilota danese viene annunciato come nuovo pilota della Arrow McLaren a partire dalla stagione 2025 al posto di Alexander Rossi[21].