化圓為方

尺规作图三大难题
	三等分角
	化圓為方
	倍立方

化圓為方是古希臘数学里尺規作圖领域當中的命題，和三等分角、倍立方問題被並列為尺规作图三大难题。其問題為：求一正方形，其面積等於一給定圓的面積。如果尺规能够化圆为方，那么必然能够从单位长度出发，用尺规作出长度为 $\pi$ 的线段。

进入十九世纪后，随着群论和域论的发展，数学家对三大难题有了本质性的了解。尺规作图问题可以归结为判定某些数是否满足特定的条件，满足条件的数也被称为规矩数。所有规矩数都是代数数。而1882年，数学家林德曼證明了 $\pi$ 為超越數，因此也證實該問題僅用尺規是無法完成的。

如果放寬尺规作图的限制或允许使用其他工具，化圆为方的問題是可行的。如借助西皮阿斯的割圓曲線（英语：quadratrix），阿基米德螺線等。

背景简介

尺规作图法

在叙述化圆为方问题前，首先需要介绍尺规作图的意思。尺规作图问题是从现实中具体的“直尺和圆规画图可能性”问题抽象出来的数学问题，将现实中的直尺和圆规抽象为数学上的设定，研究的是能不能在若干个具体限制之下，在有限的步骤内作出给定的图形、结构或其他目标的问题。在尺规作图中，直尺和圆规的定义是^[1]：

直尺：一侧为无穷长的直线，没有刻度也无法标识刻度的工具。只可以让笔摹下这个直线的全部或一部分。

圆规：由两端点构成的工具。可以在保持两个端点之间的距离不变的情况下，将两个端点同时移动，或者只固定其中一个端点，让另一个端点移动，作出圆弧或圆。两个端点之间的距离只能取已经作出的两点之间的距离，或者任意一个未知的距离。

定义了直尺和圆规的特性後，所有的作图步骤都可以归化为五种基本的步骤，称为作图公法^[1]：

通過兩個已知點，作一直線。
已知圓心和半徑，作一個圓。
若兩已知直線相交，确定其交點。
若已知直線和一已知圓相交，确定其交點。
若兩已知圓相交，确定其交點。

尺规作图研究的，就是是否能够通过以上五种步骤的有限次重复，达到给定的作图目标。尺规作图问题常见的形式是：“给定某某条件，能否用尺规作出某某对象？”比如：“给定一个圆，能否用尺规作出这个圆的圆心？”，等等。^[1]

问题叙述

化圓為方问题的完整叙述是：

“

给定一个圆，是否能够通过以上说明的五种基本步骤，于有限次内作出一个正方形，使得它的面积等于圆的面积

”

如果将圆的半径定为单位长度，则化圆为方问题的实质是作出长度为单位长度 ${\sqrt {\pi }}$ 倍的线段。^[2]

不可能性的證明

圆周率的超越性

化圆为方问题是指已知单位长度1，要作出 ${\sqrt {\pi }}$ 的长度。这等价于从1开始作出 $\pi$ 。然而，能够用尺规作出的数 $z$ 都有对应的最小多项式。也就是说，存在有理系数的多项式 $m$ ，使得

m(z)=0.

然而，1882年，林德曼等人证明了对于圆周率 $\pi$ 来说，这样的多项式不存在。数学家将这样的数称为超越数，而将有对应的多项式的数称为代数数。所有规矩数都是代数数，而 $\pi$ 不是，这说明用尺规作图是无法化圆为方的。^[1]

林德曼证明 $\pi$ 的超越性用到了现在称为林德曼－魏尔斯特拉斯定理的结论。林德曼－魏尔斯特拉斯定理说明，如果若干个代数数 $z_{1},z_{2},\cdots ,z_{n}$ 在有理数域 $\mathbb {Q}$ 上线性独立，那么 $e^{z_{1}},e^{z_{2}},\cdots ,e^{z_{n}}$ 也在 $\mathbb {Q}$ 上线性独立。反设 $\pi$ 是代数数，那么 $\pi i$ 也是代数数。考虑代数数0和 $\pi i$ ，由于 $\pi i$ 是无理数，所以它们在 $\mathbb {Q}$ 上线性独立。然而 $e^{0}$ 和 $e^{\pi i}$ 分别是1和-1，并非在 $\mathbb {Q}$ 上线性独立，矛盾。这说明 $\pi$ 不是代数数，而是超越数。^[2]

参考来源

^ ^1.0 ^1.1 ^1.2 ^1.3 曹亮吉. 《三等分任意角可能吗？》. 原載於科學月刊第九卷第四期. http://episte.math.ntu.edu.tw. [2013-05-28]. （原始内容存档于2014-06-23）. 外部链接存在于|publisher= (帮助)
^ ^2.0 ^2.1 康明昌. 《古希臘幾何三大問題》. 原載於數學傳播第八卷第二期、第八卷第三期分兩期刊出. http://episte.math.ntu.edu.tw. [2013-05-29]. （原始内容存档于2004-04-06）. 外部链接存在于|publisher= (帮助)